Considere que a tensão sobre um elemento passivo seja v(t)=8 e^-t[V] e a corrente seja i(t)=20 e^-t[A] para t >= 0 s. Determine a potência absorvida e a energia absorvida pelo elemento no primeiro segundo de operação. Assuma que a corrente e a tensão são nulas para t<0 s. RESP: p(t) = 160. e^-2 t[W], Energia = 69,2 J.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma tensão volts e uma corrente amperes que atuam sobre um elemento passivo a partir de segundos. O objetivo é encontrar a potência absorvida pelo elemento e a energia absorvida durante o primeiro segundo de operação. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas de potência elétrica e energia, além de entender como trabalhar com funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a potência elétrica p(t) = v(t) times i(t) absorvida por um elemento é dada pelo produto da tensão pela corrente:
p(t) = 8 e^-t times 20 e^-t
Substituindo as expressões de e :

Passo 3

Vamos simplificar essa expressão multiplicando os coeficientes e as funções exponenciais:
p(t) = (8 times 20) times e^-t times e^-t
p(t) = 160 times e^-2t
Então, a potência absorvida é:
p(t) = 160 e^-2t W

Passo 4

Agora, para encontrar a energia absorvida no primeiro segundo, precisamos integrar a potência de 0 a 1 segundo:
Energia = integral0^1 p(t) , dt
Substituindo Energia = integral0^1 160 e^-2t , dt :

Passo 5

Vamos resolver essa integral. A integral de integral e^-2t , dt = -12 e^-2t + C em relação a Energia = 160 [ -12 e^-2t ]0^1 é:
Energia = 160 ( -12 e^-2(1) + 12 e^0 )
Aplicando os limites de 0 a 1:
Energia = 160 ( -12 e^-2 + 12 )

Passo 6

Calculando os valores numéricos:
e^-2 approx 0,1353
Substituindo:
Energia = 160 ( -12 times 0,1353 + 12 )
Energia = 160 ( -0,06765 + 0,5 )
Energia = 160 times 0,43235
Energia approx 69,176 J

Resposta

A potência absorvida pelo elemento é e a energia absorvida no primeiro segundo de operação é aproximadamente .

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