Considere o triângulo com vértices , determine seu perimetro, mostre que o triângulo é retângulo utilizando o Teorema de Pitágoras, determine a área do triângulo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve um triângulo com os vértices em , e . A gente precisa calcular o perímetro, mostrar que o triângulo é retângulo usando o Teorema de Pitágoras e encontrar a área dele. Para isso, vamos usar fórmulas de distância entre pontos, propriedades de triângulos retângulos e a fórmula da área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as medidas dos lados do triângulo. A fórmula para calcular a distância entre dois pontos e é:
Vamos calcular , e .

Passo 3

Calculando :

Passo 4

Calculando :

Passo 5

Calculando :

Passo 6

Agora que temos os três lados, o perímetro é a soma deles:
Para simplificar, , então:

Passo 7

Para mostrar que o triângulo é retângulo, vamos verificar se o Teorema de Pitágoras se aplica. Ou seja, se o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois.
Vamos calcular:
E
Como , o triângulo é retângulo no vértice .

Passo 8

Finalmente, para encontrar a área do triângulo, podemos usar a fórmula da área para triângulos retângulos:
Á

Resposta

O perímetro do triângulo é . O triângulo é retângulo no vértice pelo Teorema de Pitágoras, e a área do triângulo é unidades quadradas.

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