Considere o triângulo com vértices A(3,-6), B(8,-2) e C(-1,-1), determine seu perimetro, mostre que o triângulo é retângulo utilizando o Teorema de Pitágoras, determine a área do triângulo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve um triângulo com os vértices em , e . A gente precisa calcular o perímetro, mostrar que o triângulo é retângulo usando o Teorema de Pitágoras e encontrar a área dele. Para isso, vamos usar fórmulas de distância entre pontos, propriedades de triângulos retângulos e a fórmula da área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as medidas dos lados do triângulo. A fórmula para calcular a distância entre dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e é:
Vamos calcular , e .

Passo 3

Calculando AB = raiz(8 - 3)^2 + (-2 - (-6))^2 = raiz5^2 + 4^2 = raiz25 + 16 = raiz41 :

Passo 4

Calculando BC = raiz(-1 - 8)^2 + (-1 - (-2))^2 = raiz(-9)^2 + 1^2 = raiz81 + 1 = raiz82 :

Passo 5

Calculando AC = raiz(-1 - 3)^2 + (-1 - (-6))^2 = raiz(-4)^2 + 5^2 = raiz16 + 25 = raiz41 :

Passo 6

Agora que temos os três lados, o perímetro P = AB + BC + AC = raiz41 + raiz82 + raiz41 = 2raiz41 + raiz82 é a soma deles:
P = 2raiz41 + raiz2raiz41 = (2 + raiz2)raiz41
Para simplificar, , então:

Passo 7

Para mostrar que o triângulo é retângulo, vamos verificar se o Teorema de Pitágoras se aplica. Ou seja, se o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois.
Vamos calcular:
AB^2 + AC^2 = (raiz41)^2 + (raiz41)^2 = 41 + 41 = 82
E
Como , o triângulo é retângulo no vértice .

Passo 8

Finalmente, para encontrar a área do triângulo, podemos usar a fórmula da área para triângulos retângulos:
Área = AB times AC2 = raiz41 times raiz412 = 412 = 20,5 Á

Resposta

O perímetro do triângulo é . O triângulo é retângulo no vértice pelo Teorema de Pitágoras, e a área do triângulo é unidades quadradas.

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