Considere o triângulo com vértices , determine seu perimetro, mostre que o triângulo é retângulo utilizando o Teorema de Pitágoras, determine a área do triângulo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve um triângulo com os vértices em , e . A gente precisa calcular o perímetro, mostrar que o triângulo é retângulo usando o Teorema de Pitágoras e encontrar a área dele. Para isso, vamos usar fórmulas de distância entre pontos, propriedades de triângulos retângulos e a fórmula da área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as medidas dos lados do triângulo. A fórmula para calcular a distância entre dois pontos e é:
Vamos calcular , e .
Passo 3
Calculando :
Passo 4
Calculando :
Passo 5
Calculando :
Passo 6
Agora que temos os três lados, o perímetro é a soma deles:
Para simplificar, , então:
Passo 7
Para mostrar que o triângulo é retângulo, vamos verificar se o Teorema de Pitágoras se aplica. Ou seja, se o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois.
Vamos calcular:
E
Como , o triângulo é retângulo no vértice .
Passo 8
Finalmente, para encontrar a área do triângulo, podemos usar a fórmula da área para triângulos retângulos:
Resposta
O perímetro do triângulo é . O triângulo é retângulo no vértice pelo Teorema de Pitágoras, e a área do triângulo é unidades quadradas.