Considere o sistema linear , onde: e .
© Qual a classificação deste sistema?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sistema linear da forma , onde a matriz e o vetor estão definidos. Nosso objetivo aqui é classificar esse sistema, ou seja, descobrir se ele tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como rank da matriz e sistemas homogêneos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema, que é a matriz junto com o vetor :
Agora, nosso objetivo é colocar essa matriz em forma escalonada usando operações elementares de linha. Isso vai nos ajudar a determinar o rank da matriz e da matriz aumentada.

Passo 3

Vamos começar fazendo zeros abaixo do primeiro elemento da primeira coluna:
  1. Linha 2: Subtrair 3 vezes a Linha 1 da Linha 2:
  1. Linha 3: Adicionar 2 vezes a Linha 1 da Linha 3:

Passo 4

Agora, vamos simplificar as linhas 2 e 3:
  1. Linha 2: Dividir todos os elementos por para simplificar:
  1. Linha 3: Subtrair 5 vezes a Linha 2 da Linha 3 para eliminar o 5 da segunda coluna:

Passo 5

Agora que a matriz está na forma escalonada, podemos determinar o rank da matriz e da matriz aumentada:
  • Rank da matriz : Número de linhas não nulas na matriz dos coeficientes, que aqui é 2.
  • Rank da matriz aumentada: Também 2, já que não há linhas inconsistentes (como úã).

Passo 6

Para classificar o sistema, comparamos os ranks:
  • Se o rank da matriz for igual ao rank da matriz aumentada e estiverem iguais ao número de incógnitas, o sistema tem uma única solução.
  • Se o rank da matriz for igual ao rank da matriz aumentada mas menor que o número de incógnitas, o sistema tem infinitas soluções.
  • Se o rank da matriz for diferente do rank da matriz aumentada, o sistema é inconsistente (sem solução).
No nosso caso:
  • Rank de = 2
  • Rank da matriz aumentada = 2
  • Número de incógnitas = 3
Como o rank é igual nos dois casos, mas menor que o número de incógnitas, o sistema tem infinitas soluções.

Resposta

O sistema é compatível indeterminado, ou seja, possui infinitas soluções.

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