O conjunto de todos os pontos {(x, y) em R^2} onde a derivada direcional da função f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y na direção do vetor u = (1, 1) é igual a ZERO pode ser descrito por:
a) Uma parábola
b) Uma reta
c) Um único ponto P = (1, 0)
d) Uma circunferência de raio 1
e) Nenhuma das respostas anteriores!

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e queremos encontrar todos os pontos onde a derivada direcional dessa função na direção do vetor é igual a zero. Vamos precisar de conhecimentos sobre derivadas direcionais e como calculá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de na direção de um vetor é a taxa de variação da função quando nos movemos na direção de . Para calcular isso, usamos o gradiente de e o produto escalar com o vetor unitário na direção de .

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de :
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 4

Agora, vamos normalizar o vetor para obter o vetor unitário na direção de . A normalização é feita dividindo o vetor pela sua magnitude:
Então, o vetor unitário é:

Passo 5

Agora, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente de com o vetor unitário :
Simplificando:

Passo 6

Queremos que essa derivada direcional seja igual a zero:
Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando dividindo por 2:
Ou seja:

Resposta

A resposta correta é b) Uma reta.

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