O conjunto de todos os pontos onde a derivada direcional da função na direção do vetor é igual a ZERO pode ser descrito por:
a) Uma parábola
b) Uma reta
c) Um único ponto
d) Uma circunferência de raio 1
e) Nenhuma das respostas anteriores!
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e queremos encontrar todos os pontos onde a derivada direcional dessa função na direção do vetor é igual a zero. Vamos precisar de conhecimentos sobre derivadas direcionais e como calculá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de na direção de um vetor é a taxa de variação da função quando nos movemos na direção de . Para calcular isso, usamos o gradiente de e o produto escalar com o vetor unitário na direção de .
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de :
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 4
Agora, vamos normalizar o vetor para obter o vetor unitário na direção de . A normalização é feita dividindo o vetor pela sua magnitude:
Então, o vetor unitário é:
Passo 5
Agora, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente de com o vetor unitário :
Simplificando:
Passo 6
Queremos que essa derivada direcional seja igual a zero: