O conjunto de todos os pontos
onde a derivada direcional da função
na direção do vetor
é igual a ZERO pode ser descrito por:
a) Uma parábola
b) Uma reta
c) Um único ponto
d) Uma circunferência de raio 1
e) Nenhuma das respostas anteriores!
a) Uma parábola
b) Uma reta
c) Um único ponto
d) Uma circunferência de raio 1
e) Nenhuma das respostas anteriores!
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
e queremos encontrar todos os pontos
onde a derivada direcional dessa função na direção do vetor
é igual a zero. Vamos precisar de conhecimentos sobre derivadas direcionais e como calculá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de
na direção de um vetor
é a taxa de variação da função
quando nos movemos na direção de
. Para calcular isso, usamos o gradiente de
e o produto escalar com o vetor unitário na direção de
.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 4
Agora, vamos normalizar o vetor
para obter o vetor unitário na direção de
. A normalização é feita dividindo o vetor pela sua magnitude:
Então, o vetor unitário é:
Passo 5
Agora, a derivada direcional
é o produto escalar do gradiente de
com o vetor unitário
:
Simplificando:
Passo 6
Queremos que essa derivada direcional seja igual a zero:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando dividindo por 2:
Ou seja:
Resposta
A resposta correta é b) Uma reta.