Construa o gráfico das seguintes funções reais:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa construir o gráfico da função . Isso envolve entender duas coisas principais: a função quadrática e a função valor absoluto . A gente vai precisar saber como desenhar gráficos de funções quadráticas e entender como o valor absoluto afeta esse gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dentro do valor absoluto: . Essa é uma função quadrática geral da forma , onde , e . Sabemos que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Como , a parábola abre para cima.

Passo 3

Vamos encontrar os zeros da função quadrática resolvendo a equação . Para isso, podemos fatorar:
Portanto, as soluções são e . Esses pontos são onde a parábola corta o eixo .

Passo 4

Agora, vamos determinar o vértice da parábola. A coordenada do vértice é dada por:
Substituindo na função , temos:
Então, o vértice está em .

Passo 5

Agora, vamos considerar a função . O valor absoluto faz com que todos os valores negativos de sejam refletidos para cima. Então, onde a parábola está abaixo do eixo , a gente vai “virar” essa parte para cima.

Passo 6

Identificamos onde é negativa. Pela análise do vértice, sabemos que é negativa entre as raízes e . Nesse intervalo, a função vai ser .

Passo 7

Vamos desenhar o gráfico de :
  1. Desenhe a parábola original com raízes em e , vértice em .
  2. Para e , , então essas partes permanecem iguais.
  3. Para , reflete a parábola para cima, ou seja, , formando uma “V” invertida.

Resposta

O gráfico da função é formado por duas partes da parábola fora do intervalo e uma parábola “virada para cima” no intervalo . As parábolas se encontram nos pontos e , com o vértice da parte refletida em . Assim, o gráfico tem a forma de uma “W” suave.

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O conjunto de todos os pontos onde a derivada direcional da função na direção do vetor é igual a ZERO pode ser descrito por:
a) Uma parábola
b) Uma reta
c) Um único ponto
d) Uma circunferência de raio 1
e) Nenhuma das respostas anteriores!
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