O conjunto de todos os vetores em R^3 que são da forma (l0 0 b), forall b in R, ê subespaço vetorial de R^3 ?

Passo 1

Vamos entender a questão. Queremos saber se o conjunto de todos os vetores em R^3 que têm a forma 0 0 b, onde b pode ser qualquer número real, é um subespaço vetorial de R^3. Para isso, precisamos verificar três coisas:
  1. Presença do vetor zero: O conjunto deve conter o vetor zero.
  2. Fechamento pela adição: A soma de quaisquer dois vetores do conjunto também deve estar no conjunto.
  3. Fechamento pela multiplicação por escalar: Qualquer vetor do conjunto multiplicado por um número real também deve estar no conjunto.

Passo 2

Verificando a presença do vetor zero
O vetor zero em R^3 é 0 0 0. No nosso conjunto, se escolhermos b = 0, temos 0 0 0. Assim, o vetor zero está incluído no conjunto.

Passo 3

Verificando o fechamento pela adição
Vamos pegar dois vetores quaisquer do conjunto:
0 0 b1 e 0 0 b2
Ao somá-los, temos:
0 + 0 0 + 0 b1 + b2 = 0 0 b1 + b2
Como b1 + b2 é um número real, o vetor resultante também pertence ao conjunto. Portanto, o conjunto é fechado pela adição.

Passo 4

Verificando o fechamento pela multiplicação por escalar
Vamos pegar um vetor qualquer do conjunto:
0 0 b
E multiplicá-lo por um escalar k in R:
k cdot 0 0 b = 0 0 k cdot b
Como k cdot b é um número real, o vetor resultante também pertence ao conjunto. Assim, o conjunto é fechado pela multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o conjunto de todos os vetores da forma 0 0 b em R^3 é um subespaço vetorial de R^3.

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