O conjunto de todos os vetores em que são da forma , ê subespaço vetorial de R^3 ?
Passo 1
Vamos entender a questão. Queremos saber se o conjunto de todos os vetores em R^3 que têm a forma 0 0 b, onde b pode ser qualquer número real, é um subespaço vetorial de R^3. Para isso, precisamos verificar três coisas:
Presença do vetor zero: O conjunto deve conter o vetor zero.
Fechamento pela adição: A soma de quaisquer dois vetores do conjunto também deve estar no conjunto.
Fechamento pela multiplicação por escalar: Qualquer vetor do conjunto multiplicado por um número real também deve estar no conjunto.
Passo 2
Verificando a presença do vetor zero
O vetor zero em R^3 é 0 0 0. No nosso conjunto, se escolhermos b = 0, temos 0 0 0. Assim, o vetor zero está incluído no conjunto.
Passo 3
Verificando o fechamento pela adição
Vamos pegar dois vetores quaisquer do conjunto:
0 0 b1 e 0 0 b2
Ao somá-los, temos:
0 + 0 0 + 0 b1 + b2 = 0 0 b1 + b2
Como b1 + b2 é um número real, o vetor resultante também pertence ao conjunto. Portanto, o conjunto é fechado pela adição.
Passo 4
Verificando o fechamento pela multiplicação por escalar
Vamos pegar um vetor qualquer do conjunto:
0 0 b
E multiplicá-lo por um escalar k in R:
k cdot 0 0 b = 0 0 k cdot b
Como k cdot b é um número real, o vetor resultante também pertence ao conjunto. Assim, o conjunto é fechado pela multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o conjunto de todos os vetores da forma 0 0 b em R^3 é um subespaço vetorial de R^3.