Mostre que as seguintes transformações lineares são sobrejetivas.
(i) T: R^3 R^2, T(x, y, z)=(2 x+y, z);
(ii) B: Pn[x](R) R, B(p(x))=p(1);
(iii) A: R^2 R^2 A(x, y)=(x+y, x-y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que certas transformações lineares são sobrejetivas. Transformações lineares são funções que respeitam a adição e a multiplicação por escalar. Para serem sobrejetivas, elas precisam atingir todo o espaço de chegada, ou seja, para todo elemento no espaço de destino, existe pelo menos um elemento no espaço de partida que é mapeado para ele. Vamos precisar analisar cada transformação dada e verificar essa propriedade.

Passo 2

Parte (i) T: R^3 R^2, T(x, y, z)=(2 x+y, z)

Primeiro, precisamos mostrar que para qualquer vetor (a, b) in R^2, existe pelo menos um vetor (x, y, z) in R^3 tal que T(x, y, z) = (a, b).
A transformação T(x, y, z) = (2x + y, z) significa que:
  • O primeiro componente 2x + y deve ser igual a a.
  • O segundo componente z deve ser igual a b.
Vamos resolver essas equações para x, y e z.

Passo 3

Para encontrar x, y e z, podemos escolher valores livres para uma das variáveis, já que temos mais variáveis do que equações. Vamos resolver para x e y:
  1. Da segunda equação z = b, já temos z diretamente.
  2. Da primeira equação 2x + y = a, podemos resolver para uma das variáveis em termos da outra. Por exemplo, podemos escolher x = 0 e então y = a.
Então, uma possível solução é:
  • x = 0
  • y = a
  • z = b
Isso mostra que para qualquer (a, b) in R^2, encontramos um (x, y, z) in R^3 que satisfaz T(x, y, z) = (a, b).

Passo 4

Parte (ii) B: Pn[x] R, B(p(x))=p(1)

Aqui, Pn[x] é o espaço dos polinômios de grau no máximo n. Precisamos mostrar que para qualquer número real c in R, existe um polinômio p(x) in Pn[x] tal que p(1) = c.
Para construir tal polinômio, podemos escolher um polinômio simples que satisfaça a condição. Por exemplo, podemos considerar o polinômio constante p(x) = c. Então, p(1) = c, o que atende à condição necessária.
Isso mostra que para qualquer c in R, existe pelo menos um polinômio p(x) in Pn[x] tal que B(p(x)) = c.

Passo 5

Parte (iii) A: R^2 R^2, A(x, y)=(x+y, x-y)

Vamos mostrar que para qualquer vetor (a, b) in R^2, existe um vetor (x, y) in R^2 tal que A(x, y) = (a, b).
Temos as equações:
  1. x + y = a
  2. x - y = b
Vamos resolver esse sistema de equações para x e y.
Somando as duas equações:
(x + y) + (x - y) = a + b implies 2x = a + b implies x = a + b2
Subtraindo a segunda equação da primeira:
(x + y) - (x - y) = a - b implies 2y = a - b implies y = a - b2
Portanto, temos:
  • x = a + b2
  • y = a - b2
Isso mostra que para qualquer (a, b) in R^2, existe um (x, y) in R^2 que satisfaz A(x, y) = (a, b).

Resposta

Todas as transformações lineares dadas são sobrejetivas, pois para qualquer elemento no espaço de chegada, existe pelo menos um elemento no espaço de partida que é mapeado para ele.

Exercícios relacionados