Mostre que as seguintes transformações lineares são sobrejetivas.
(i)
;
(ii)
;
(iii)
.
(i)
(ii)
(iii)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que certas transformações lineares são sobrejetivas. Transformações lineares são funções que respeitam a adição e a multiplicação por escalar. Para serem sobrejetivas, elas precisam atingir todo o espaço de chegada, ou seja, para todo elemento no espaço de destino, existe pelo menos um elemento no espaço de partida que é mapeado para ele. Vamos precisar analisar cada transformação dada e verificar essa propriedade.
Passo 2
Parte (i)
Primeiro, precisamos mostrar que para qualquer vetor
, existe pelo menos um vetor
tal que
.
A transformação
significa que:
- O primeiro componente
deve ser igual a . - O segundo componente
deve ser igual a .
Vamos resolver essas equações para
,
e
.
Passo 3
Para encontrar
,
e
, podemos escolher valores livres para uma das variáveis, já que temos mais variáveis do que equações. Vamos resolver para
e
:
- Da segunda equação
, já temos diretamente. - Da primeira equação
, podemos resolver para uma das variáveis em termos da outra. Por exemplo, podemos escolher e então .
Então, uma possível solução é:
Isso mostra que para qualquer
, encontramos um
que satisfaz
.
Passo 4
Parte (ii)
Aqui,
é o espaço dos polinômios de grau no máximo
. Precisamos mostrar que para qualquer número real
, existe um polinômio
tal que
.
Para construir tal polinômio, podemos escolher um polinômio simples que satisfaça a condição. Por exemplo, podemos considerar o polinômio constante
. Então,
, o que atende à condição necessária.
Isso mostra que para qualquer
, existe pelo menos um polinômio
tal que
.
Passo 5
Parte (iii)
Vamos mostrar que para qualquer vetor
, existe um vetor
tal que
.
Temos as equações:
Vamos resolver esse sistema de equações para
e
.
Somando as duas equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Portanto, temos:
Isso mostra que para qualquer
, existe um
que satisfaz
.
Resposta
Todas as transformações lineares dadas são sobrejetivas, pois para qualquer elemento no espaço de chegada, existe pelo menos um elemento no espaço de partida que é mapeado para ele.