Encontre uma base do espaço coluna da matriz; calcule também seu posto e sua nulidade
A=(ccccc 1 & -3 & 4 & -2 & 4 2 & -6 & 9 & -1 & 8 4 & -12 & 18 & -2 & 18 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base para o espaço coluna da matriz , além de calcular o posto e a nulidade dela. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear como espaço coluna, dependência linear, posto e nulidade. Vamos passo a passo, sem complicação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o espaço coluna. É o conjunto de todas as combinações lineares das colunas da matriz . Uma base para esse espaço é um conjunto de colunas que são linearmente independentes e que geram todo o espaço coluna.

Passo 3

Para encontrar uma base, precisamos identificar quais colunas da matriz são linearmente independentes. Uma maneira eficiente de fazer isso é realizar a redução por linhas na matriz aumentada (onde é a matriz identidade) e observar quais colunas contêm os pivôs (os primeiros elementos não nulos de cada linha).

Passo 4

Vamos escrever a matriz A = 1 & -3 & 4 & -2 & 4 2 & -6 & 9 & -1 & 8 4 & -12 & 18 & -2 & 18 :
Agora, vamos aplicar operações de linha para reduzir à sua forma escalonada.

Passo 5

Primeiro, mantemos o primeiro elemento da primeira coluna como pivô, que já é 1. Em seguida, vamos zerar os elementos abaixo dele:
  • Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
R2 = R2 - 2R1 Rightarrow 0 & 0 & 1 & 3 & 4
  • Subtraímos 4 vezes a primeira linha da terceira linha:
R3 = R3 - 4R1 Rightarrow 0 & 0 & 2 & 6 & 2
A matriz fica assim:
1 & -3 & 4 & -2 & 4 0 & 0 & 1 & 3 & 4 0 & 0 & 2 & 6 & 2

Passo 6

Agora, vamos trabalhar com a segunda coluna. Porém, vemos que todos os elementos abaixo do primeiro pivô na segunda coluna são zero, então passamos para a próxima coluna com elementos não nulos, que é a terceira coluna.
O elemento R3 = R3 - 2R2 Rightarrow 0 & 0 & 0 & 0 & -6 na posição 1 & -3 & 4 & -2 & 4 0 & 0 & 1 & 3 & 4 0 & 0 & 0 & 0 & -6 será nosso segundo pivô. Vamos zerar o elemento abaixo dele:
  • Subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
A matriz fica:

Passo 7

Continuamos com a terceira coluna. Já temos um pivô R3 = 1-6 R3 Rightarrow 0 & 0 & 0 & 0 & 1 na posição 1 & -3 & 4 & -2 & 4 0 & 0 & 1 & 3 & 4 0 & 0 & 0 & 0 & 1 . Vamos normalizar a terceira linha:
  • Dividimos a terceira linha por para obter um pivô de 1:
Agora, a matriz está na forma escalonada reduzida:

Passo 8

Identificamos os pivôs nas colunas 1, 3 e 5. Isso significa que as colunas correspondentes na matriz original 1 2 4 , 4 9 18 , 4 8 18 são linearmente independentes e formam uma base para o espaço coluna.
Então, as colunas 1, 3 e 5 de são:

Passo 9

Agora, vamos determinar o posto da matriz posto + nulidade = n . O posto é igual ao número de pivôs na forma escalonada, que neste caso é 3.
Para encontrar a nulidade, usamos a relação:
3 + nulidade = 5 Rightarrow nulidade = 2
onde é o número de colunas da matriz , que é 5.
Então:

Resposta

Uma base para o espaço coluna da matriz 1 2 4 , 4 9 18 , 4 8 18 é formada pelas colunas 1, 3 e 5:
O posto de é 3 e sua nulidade é 2.

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