Encontre uma base do espaço coluna da matriz; calcule também seu posto e sua nulidade
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base para o espaço coluna da matriz , além de calcular o posto e a nulidade dela. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear como espaço coluna, dependência linear, posto e nulidade. Vamos passo a passo, sem complicação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o espaço coluna. É o conjunto de todas as combinações lineares das colunas da matriz . Uma base para esse espaço é um conjunto de colunas que são linearmente independentes e que geram todo o espaço coluna.
Passo 3
Para encontrar uma base, precisamos identificar quais colunas da matriz são linearmente independentes. Uma maneira eficiente de fazer isso é realizar a redução por linhas na matriz aumentada (onde é a matriz identidade) e observar quais colunas contêm os pivôs (os primeiros elementos não nulos de cada linha).
Agora, vamos trabalhar com a segunda coluna. Porém, vemos que todos os elementos abaixo do primeiro pivô na segunda coluna são zero, então passamos para a próxima coluna com elementos não nulos, que é a terceira coluna.
Subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
A matriz fica:
Passo 7
Continuamos com a terceira coluna. Já temos um pivô R3 = 1-6 R3 Rightarrow 0 & 0 & 0 & 0 & 1 na posição 1 & -3 & 4 & -2 & 4 0 & 0 & 1 & 3 & 4 0 & 0 & 0 & 0 & 1 . Vamos normalizar a terceira linha:
Dividimos a terceira linha por para obter um pivô de 1:
Agora, a matriz está na forma escalonada reduzida:
Passo 8
Identificamos os pivôs nas colunas 1, 3 e 5. Isso significa que as colunas correspondentes na matriz original 1 2 4 , 4 9 18 , 4 8 18 são linearmente independentes e formam uma base para o espaço coluna.
Então, as colunas 1, 3 e 5 de são:
Passo 9
Agora, vamos determinar o posto da matriz posto + nulidade = n . O posto é igual ao número de pivôs na forma escalonada, que neste caso é 3.
Para encontrar a nulidade, usamos a relação:
3 + nulidade = 5 Rightarrow nulidade = 2
onde é o número de colunas da matriz , que é 5.
Então:
Resposta
Uma base para o espaço coluna da matriz 1 2 4 , 4 9 18 , 4 8 18 é formada pelas colunas 1, 3 e 5: