Seja T: R^4 R^4 uma transformação linear tal que
Nuc(T)=[(1,0,2,4),(-2,1,1,0),(-1,1,3,4)]
(i) Encontre uma expressão explícita para a transformação linear T. Tal expressão é única?
(ii) Determine a imagem de T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear e sabemos que o núcleo dessa transformação é gerado pelos vetores , e . Nosso objetivo é:
  1. Parte (i): Encontrar uma expressão explícita para e verificar se essa expressão é única.
  2. Parte (ii): Determinar a imagem de .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, transformações lineares, núcleo (kernel) e imagem (imagem), além do Teorema do Núcleo e Imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema do Núcleo e Imagem, que nos diz que para uma transformação linear dim(Nuc(T)) + dim(Im(T)) = dim(V) , temos:
dim(Nuc(T)) = 3
No nosso caso, 3 + dim(Im(T)) = 4 Rightarrow dim(Im(T)) = 1 e . O núcleo de é gerado por três vetores, então:
Aplicando o teorema:
Então, a imagem de é um subespaço de dimensão 1 em , ou seja, é uma reta.

Passo 3

Agora, para encontrar uma expressão explícita para A = u v^T , vamos perceber que T(x) = A x = (u v^T) x = u (v cdot x) tem posto (rank) igual a 1. Isso significa que toda a transformação pode ser escrita como o produto de um vetor coluna e um vetor linha.
Ou seja, podemos escrever a matriz de como:
onde e . Assim, para qualquer vetor :
Nosso objetivo é encontrar e que satisfazem o núcleo dado.

Passo 4

Sabemos que todo vetor no núcleo de T(x) = u (v cdot x) = 0 é mapeado para o vetor zero. Ou seja, para qualquer v cdot x = 0 para todo x in Nuc(T) :
Como não pode ser o vetor zero (senão a transformação seria trivial e a imagem teria dimensão zero, o que não é o caso), isso implica que:
Portanto, deve ser ortogonal a todos os vetores do núcleo. Assim, pertence ao ortogonal do núcleo, ou seja, . Como o núcleo tem dimensão 3, seu ortogonal tem dimensão 1, o que significa que é único à multiplicação por escalar.

Passo 5

Vamos encontrar v1 = (1,0,2,4), v2 = (-2,1,1,0), v3 = (-1,1,3,4) tal que seja ortogonal a todos os vetores do núcleo. Temos os vetores:
v cdot v1 = 0 v cdot v2 = 0 v cdot v3 = 0
Queremos v1 + 0 cdot v2 + 2 v3 + 4 v4 = 0 -2 v1 + v2 + v3 + 0 cdot v4 = 0 -1 v1 + v2 + 3 v3 + 4 v4 = 0 tal que:
Isso nos leva ao sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema acima:
  1. Primeira Equação:
v1 + 2 v3 + 4 v4 = 0 Rightarrow v1 = -2 v3 - 4 v4
  1. Segunda Equação:
-2 v1 + v2 + v3 = 0
Substituindo -2(-2 v3 - 4 v4) + v2 + v3 = 0 4 v3 + 8 v4 + v2 + v3 = 0 v2 + 5 v3 + 8 v4 = 0 Rightarrow v2 = -5 v3 - 8 v4 :
- v1 + v2 + 3 v3 + 4 v4 = 0
  1. Terceira Equação:
- (-2 v3 - 4 v4) + (-5 v3 - 8 v4) + 3 v3 + 4 v4 = 0 2 v3 + 4 v4 -5 v3 -8 v4 + 3 v3 +4 v4 = 0 (2 -5 +3) v3 + (4 -8 +4) v4 = 0 0 v3 + 0 v4 = 0
Substituindo e :
Isso confirma que nossas soluções anteriores são válidas.

Passo 7

Portanto, podemos expressar v3 = s e v4 = t em termos de v1 = -2 s - 4 t v2 = -5 s - 8 t v3 = s v4 = t e v = (-2 s - 4 t, -5 s - 8 t, s, t) . Vamos definir:
v = (-2 cdot 2 -4 cdot (-1), -5 cdot 2 -8 cdot (-1), 2, -1) v = (-4 +4, -10 +8, 2, -1) v = (0, -2, 2, -1)
Então:
Assim, pode ser escrito como:
Para simplificar, podemos escolher valores específicos para e . Por exemplo, para obter uma solução não trivial, vamos escolher e :

Passo 8

Agora que temos A = u v^T = 1 0 0 0 0 & -2 & 2 & -1 = 0 & -2 & 2 & -1 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 , podemos escolher T(x) = A x = 0 & -2 & 2 & -1 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 x1 x2 x3 x4 = -2 x2 + 2 x3 - x4 0 0 0 . Lembrando que pode ser qualquer vetor não nulo em , mas para simplificar, vamos escolher .
Assim, a matriz de fica:
Portanto, a transformação é dada por:

Passo 9

A expressão para é única?
Não exatamente. Como escolhemos , poder��amos ter escolhido outro vetor , desde que seja não nulo. Diferentes escolhas de resultariam em matrizes diferentes para , mas todas elas teriam o mesmo núcleo e imagem. Portanto, a expressão para não é única.

Passo 10

Parte (ii): Determinar a imagem de u = (0, -2, 2, -1) .
Já sabemos que Im(T) = span 0 -2 2 -1 , então a imagem de é gerada pelo vetor onde a matriz tem linhas não nulas. No nosso caso, apenas a primeira linha de é não nula:
Portanto, a imagem de é o subespaço unidimensional gerado por , ou seja:

Resposta

(i) Uma expressão explícita para a transformação linear T(x) = -2 x2 + 2 x3 - x4 0 0 0 é:
Im(T) = span 0 -2 2 -1
Essa expressão não é única, pois diferentes escolhas de vetores e que satisfazem as condições podem gerar outras representações de .
(ii) A imagem de é o subespaço unidimensional de gerado pelo vetor , ou seja:

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