considere o operador r(lx y z)=(ccc2 & -1 & -1 -1 & 2 & -1 -1 & -1 & 2)(lx y z)
b) Para cada autovalor determine uma base do autoespaço associado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um operador linear representado pela matriz:
A = 2 & -1 & -1 -1 & 2 & -1 -1 & -1 & 2
E o objetivo aqui é encontrar, para cada autovalor dessa matriz, uma base do autoespaço associado. Em outras palavras, precisamos descobrir quais são os autovalores de e, para cada um deles, encontrar os vetores próprios correspondentes que formam uma base do respectivo autoespaço. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como determinantes, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade de ordem 3. Essa equação nos dá os valores de para os quais não é invertível, ou seja, onde existe um vetor não nulo tal que .

Passo 3

Vamos calcular o determinante de A - lambda I = 2 - lambda & -1 & -1 -1 & 2 - lambda & -1 -1 & -1 & 2 - lambda :
det(A - lambda I) = (2 - lambda)^3 - (-1)^2(2 - lambda) - (-1)^2(2 - lambda) - (-1)^2(2 - lambda) + 2(-1)^3 + 2(-1)^3
O determinante dessa matriz é:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)[(2 - lambda)(2 - lambda) - (-1)(-1)] - (-1)[(-1)(2 - lambda) - (-1)(-1)] + (-1)[(-1)(-1) - (2 - lambda)(-1)]
Mas para simplificar, vamos expandir o determinante usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Nesse caso, é mais fácil aplicar a regra de Laplace:
= (2 - lambda)[(2 - lambda)^2 - 1] - (-1)[- (2 - lambda) - 1] + (-1)[1 - (−(2 - lambda))]
Simplificando cada parte:
= (2 - lambda)[(2 - lambda)^2 - 1] + (2 - lambda + 1) - (1 + 2 - lambda)
= (2 - lambda)[(4 - 4lambda + lambda^2) - 1] + (3 - lambda) - (3 - lambda)
= (2 - lambda)(3 - 4lambda + lambda^2)
= (2 - lambda)(lambda^2 - 4lambda + 3)
= (2 - lambda)(lambda - 1)(lambda - 3)

Passo 4

Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
(2 - lambda)(lambda - 1)(lambda - 3) = 0
Isso nos dá os seguintes autovalores:
lambda1 = 2, lambda2 = 1, lambda3 = 3
Então, os autovalores de são 2, 1 e 3.

Passo 5

Vamos encontrar uma base para cada autoespaço correspondente a cada autovalor.
Para A - 2I = 0 & -1 & -1 -1 & 0 & -1 -1 & -1 & 0 :
Resolvemos - y - z = 0 - x - z = 0 - x - y = 0 :
v = -1 -1 1
Isso resulta no sistema:
-1 -1 1
Resolvendo, temos A - I = 1 & -1 & -1 -1 & 1 & -1 -1 & -1 & 1 e x - y - z = 0 - x + y - z = 0 - x - y + z = 0 . Podemos escolher x = -y - z , então:
v1 = -1 1 0
Portanto, uma base para o autoespaço associado a v2 = -1 0 1 é -1 1 0 .
Para -1 0 1 :
Resolvemos A - 3I = -1 & -1 & -1 -1 & -1 & -1 -1 & -1 & -1 :
- x - y - z = 0 - x - y - z = 0 - x - y - z = 0
Isso resulta no sistema:
x = -y - z
Somando todas as equações, obtemos v1 = -1 1 0 , o que implica v2 = -1 0 1 . Portanto, podemos expressar duas variáveis em termos da terceira:
-1 1 0
Escolhendo -1 0 1 e , temos , então:
Escolhendo e , temos , então:
Portanto, uma base para o autoespaço associado a é .
Para :
Resolvemos :
Isso resulta no sistema:
Tudo indica que . Podemos expressar duas variáveis em termos da terceira:
Escolhendo e , temos , então:
Escolhendo e , temos , então:
Portanto, uma base para o autoespaço associado a é .

Resposta

Bases dos autoespaços associados aos autovalores de -1 -1 1 :
  • Para -1 1 0 , -1 0 1 :
-1 1 0 , -1 0 1
  • Para :
  • Para :

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