O conjunto é um subespaço do ? Justifique.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto e queremos saber se esse conjunto é um subespaço do espaço vetorial . Para resolver isso, vamos precisar entender os critérios que definem um subespaço e verificar se os satisfaz.

Passo 2

Um subespaço de deve obedecer a três propriedades principais:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero em é .
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer no subespaço, a soma desses dois vetores também deve estar no subespaço.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor no subespaço e multiplicar por qualquer número real (escalar), o resultado também deve estar no subespaço.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto .

Passo 3

1. Verificar se contém o vetor zero:
O vetor zero é . Vamos ver se ele pertence a :
Como , o vetor zero não está em . Isso já nos indica que não é um subespaço, mas vamos continuar verificando as outras propriedades para entender melhor.

Passo 4

2. Verificar se é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em , por exemplo, e , onde:
A soma deles é . Para que seja fechado sob adição, precisamos que:
No entanto, expandindo essa expressão:
Isso será igual a 1 somente se , o que não é garantido para todos os vetores em . Portanto, não é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificar se é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor em , onde , e um escalar . O vetor multiplicado por é . Para que seja fechado sob multiplicação por escalar, precisamos que:
Isso só acontece se ou . Para qualquer outro valor de , a condição não é satisfeita. Assim, não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto não contém o vetor zero, nem é fechado sob adição ou multiplicação por escalar, não é um subespaço de .

Exercícios relacionados

Seja a transformação linear dada pela matriz abaixo. Calcule uma base para a imagem de , i.e., para .
Seja o subespaço do gerado pelo conjunto abaixo.
Calcule uma base para contendo o vetor .
Seja . Verifique que é um espaço vetorial sobre com dimensão 2 .
Mostre que o conjunto é um subespaço de e ache uma base para .