Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto e queremos saber se esse conjunto é um subespaço do espaço vetorial . Para resolver isso, vamos precisar entender os critérios que definem um subespaço e verificar se os satisfaz.
Passo 2
Um subespaço de deve obedecer a três propriedades principais:
Contém o vetor zero: O vetor zero em é .
Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer no subespaço, a soma desses dois vetores também deve estar no subespaço.
Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor no subespaço e multiplicar por qualquer número real (escalar), o resultado também deve estar no subespaço.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto .
Passo 3
1. Verificar se contém o vetor zero:
O vetor zero é . Vamos ver se ele pertence a :
Como , o vetor zero não está em . Isso já nos indica que não é um subespaço, mas vamos continuar verificando as outras propriedades para entender melhor.
Passo 4
2. Verificar se é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em , por exemplo, e , onde:
A soma deles é . Para que seja fechado sob adição, precisamos que:
No entanto, expandindo essa expressão:
Isso será igual a 1 somente se , o que não é garantido para todos os vetores em . Portanto, não é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificar se é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor em , onde , e um escalar . O vetor multiplicado por é . Para que seja fechado sob multiplicação por escalar, precisamos que:
Isso só acontece se ou . Para qualquer outro valor de , a condição não é satisfeita. Assim, não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto não contém o vetor zero, nem é fechado sob adição ou multiplicação por escalar, não é um subespaço de .