O conjunto U=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2=1 é um subespaço do R^2 ? Justifique.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto e queremos saber se esse conjunto é um subespaço do espaço vetorial . Para resolver isso, vamos precisar entender os critérios que definem um subespaço e verificar se os satisfaz.

Passo 2

Um subespaço de deve obedecer a três propriedades principais:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero em é .
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer no subespaço, a soma desses dois vetores também deve estar no subespaço.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor no subespaço e multiplicar por qualquer número real (escalar), o resultado também deve estar no subespaço.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto .

Passo 3

1. Verificar se x^2 + y^2 = 0^2 + 0^2 = 0 neq 1 contém o vetor zero:
O vetor zero é . Vamos ver se ele pertence a :
Como , o vetor zero não está em . Isso já nos indica que não é um subespaço, mas vamos continuar verificando as outras propriedades para entender melhor.

Passo 4

2. Verificar se x1^2 + y1^2 = 1 e x2^2 + y2^2 = 1 é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em (x1 + x2)^2 + (y1 + y2)^2 = 1 , por exemplo, x1^2 + 2x1x2 + x2^2 + y1^2 + 2y1y2 + y2^2 = 2 + 2(x1x2 + y1y2) e , onde:
A soma deles é . Para que seja fechado sob adição, precisamos que:
No entanto, expandindo essa expressão:
Isso será igual a 1 somente se , o que não é garantido para todos os vetores em . Portanto, não é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificar se (kx)^2 + (ky)^2 = k^2(x^2 + y^2) = k^2 cdot 1 = k^2 = 1 é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor em , onde , e um escalar . O vetor multiplicado por é . Para que seja fechado sob multiplicação por escalar, precisamos que:
Isso só acontece se ou . Para qualquer outro valor de , a condição não é satisfeita. Assim, não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto não contém o vetor zero, nem é fechado sob adição ou multiplicação por escalar, não é um subespaço de .

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