O conjunto
é um subespaço do
? Justifique.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto
e queremos saber se esse conjunto é um subespaço do espaço vetorial
. Para resolver isso, vamos precisar entender os critérios que definem um subespaço e verificar se
os satisfaz.
Passo 2
Um subespaço de
deve obedecer a três propriedades principais:
- Contém o vetor zero: O vetor zero em
é . - Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer no subespaço, a soma desses dois vetores também deve estar no subespaço.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor no subespaço e multiplicar por qualquer número real (escalar), o resultado também deve estar no subespaço.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificar se
contém o vetor zero:
O vetor zero é
. Vamos ver se ele pertence a
:
Como
, o vetor zero não está em
. Isso já nos indica que
não é um subespaço, mas vamos continuar verificando as outras propriedades para entender melhor.
Passo 4
2. Verificar se
é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
, por exemplo,
e
, onde:
A soma deles é
. Para que
seja fechado sob adição, precisamos que:
No entanto, expandindo essa expressão:
Isso será igual a 1 somente se
, o que não é garantido para todos os vetores em
. Portanto,
não é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor
em
, onde
, e um escalar
. O vetor multiplicado por
é
. Para que
seja fechado sob multiplicação por escalar, precisamos que:
Isso só acontece se
ou
. Para qualquer outro valor de
, a condição não é satisfeita. Assim,
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto
não contém o vetor zero, nem é fechado sob adição ou multiplicação por escalar,
não é um subespaço de
.