Seja . Verifique que é um espaço vetorial sobre com dimensão 2 .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem um conjunto de funções definido por . O objetivo é verificar se esse conjunto é um espaço vetorial sobre os números reais e também determinar a sua dimensão. Para isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e quais são as propriedades que ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que significa ser um espaço vetorial. Basicamente, um conjunto é um espaço vetorial se ele satisfaz oito propriedades, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, existência de um vetor zero, etc. Mas para simplificar, vamos focar nas propriedades mais importantes: fechamento sob adição e multiplicação por escalar, e a existência de uma base que nos ajuda a determinar a dimensão.
Passo 3
Vamos verificar se é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas funções qualquer dentro de e somarmos elas, o resultado ainda estará em . Suponha que temos:
Somando elas:
Como e são números reais, a soma também pertence a . Então, é fechado sob adição.
Passo 4
Agora, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegarmos uma função qualquer em e multiplicarmos por um número real, o resultado ainda estará em . Seja:
Multiplicando por um escalar :
Como e são reais, também pertence a . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 5
Agora que verificamos que é fechado sob adição e multiplicação por escalar, vamos determinar a dimensão de . Para isso, encontramos uma base que gere todo o espaço sem redundância. Vamos considerar as funções:
Qualquer função em pode ser escrita como uma combinação linear dessas duas funções:
Além disso, e são linearmente independentes porque não existe nenhum número real tal que . Assim, temos uma base com 2 funções independentes.
Resposta
Portanto, o conjunto é um espaço vetorial sobre com dimensão 2.