Seja
. Verifique que
é um espaço vetorial sobre
com dimensão 2 .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem um conjunto de funções definido por
. O objetivo é verificar se esse conjunto é um espaço vetorial sobre os números reais
e também determinar a sua dimensão. Para isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e quais são as propriedades que ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que significa ser um espaço vetorial. Basicamente, um conjunto é um espaço vetorial se ele satisfaz oito propriedades, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, existência de um vetor zero, etc. Mas para simplificar, vamos focar nas propriedades mais importantes: fechamento sob adição e multiplicação por escalar, e a existência de uma base que nos ajuda a determinar a dimensão.
Passo 3
Vamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas funções qualquer dentro de
e somarmos elas, o resultado ainda estará em
. Suponha que temos:
Somando elas:
Como
e
são números reais, a soma
também pertence a
. Então,
é fechado sob adição.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegarmos uma função qualquer em
e multiplicarmos por um número real, o resultado ainda estará em
. Seja:
Multiplicando por um escalar
:
Como
e
são reais,
também pertence a
. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 5
Agora que verificamos que
é fechado sob adição e multiplicação por escalar, vamos determinar a dimensão de
. Para isso, encontramos uma base que gere todo o espaço sem redundância. Vamos considerar as funções:
Qualquer função em
pode ser escrita como uma combinação linear dessas duas funções:
Além disso,
e
são linearmente independentes porque não existe nenhum número real
tal que
. Assim, temos uma base com 2 funções independentes.
Resposta
Portanto, o conjunto
é um espaço vetorial sobre
com dimensão 2.