Seja E=a1 e^x+a2 e^-x ; a1, a2 in R. Verifique que E é um espaço vetorial sobre R com dimensão 2 .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem um conjunto de funções definido por E = a1 e^x + a2 e^-x ; a1, a2 in R . O objetivo é verificar se esse conjunto é um espaço vetorial sobre os números reais R e também determinar a sua dimensão. Para isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e quais são as propriedades que ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que significa ser um espaço vetorial. Basicamente, um conjunto é um espaço vetorial se ele satisfaz oito propriedades, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, existência de um vetor zero, etc. Mas para simplificar, vamos focar nas propriedades mais importantes: fechamento sob adição e multiplicação por escalar, e a existência de uma base que nos ajuda a determinar a dimensão.

Passo 3

Vamos verificar se E é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas funções qualquer dentro de E e somarmos elas, o resultado ainda estará em E. Suponha que temos:
f(x) = a1 e^x + a2 e^-x
g(x) = b1 e^x + b2 e^-x
Somando elas:
f(x) + g(x) = (a1 + b1) e^x + (a2 + b2) e^-x
Como a1 + b1 e a2 + b2 são números reais, a soma f(x) + g(x) também pertence a E. Então, E é fechado sob adição.

Passo 4

Agora, vamos verificar se E é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegarmos uma função qualquer em E e multiplicarmos por um número real, o resultado ainda estará em E. Seja:
f(x) = a1 e^x + a2 e^-x
Multiplicando por um escalar k in R:
k cdot f(x) = k a1 e^x + k a2 e^-x
Como k a1 e k a2 são reais, k cdot f(x) também pertence a E. Portanto, E é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Agora que verificamos que E é fechado sob adição e multiplicação por escalar, vamos determinar a dimensão de E. Para isso, encontramos uma base que gere todo o espaço sem redundância. Vamos considerar as funções:
f1(x) = e^x
f2(x) = e^-x
Qualquer função em E pode ser escrita como uma combinação linear dessas duas funções:
a1 f1(x) + a2 f2(x) = a1 e^x + a2 e^-x
Além disso, f1(x) e f2(x) são linearmente independentes porque não existe nenhum número real k tal que f1(x) = k f2(x). Assim, temos uma base com 2 funções independentes.

Resposta

Portanto, o conjunto E é um espaço vetorial sobre R com dimensão 2.

Exercícios relacionados