Mostre que o conjunto é um subespaço de e ache uma base para .
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão pede. Temos um conjunto de matrizes definidas por certas expressões envolvendo as variáveis , e . Nosso objetivo é mostrar que esse conjunto é um subespaço de , ou seja, que ele satisfaz as propriedades necessárias para ser considerado um subespaço vetorial. Além disso, vamos encontrar uma base para , que é um conjunto de vetores (neste caso, matrizes) que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço. Para resolver isso, precisamos entender conceitos de álgebra linear como subespaços, combinação linear e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o conjunto contém a matriz zero, que é uma condição essencial para ser um subespaço. A matriz zero é a matriz em que todos os elementos são zero. Substituindo , e nas expressões de , obtemos:
$$
$$
Como a matriz zero está em , podemos continuar.
Passo 3
Agora, vamos verificar se é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas matrizes qualquer de e somarmos, o resultado também deve estar em . Seja e duas matrizes em com parâmetros e , respectivamente. Somando , teremos:
Podemos ver que o resultado da soma também segue a forma definida para , com novos parâmetros , e . Portanto, é fechado sob adição.
Passo 4
Vamos agora confirmar se é fechado sob multiplicação por escalar. Isto significa que se multiplicarmos uma matriz de por qualquer número real , o resultado também deve estar em . Seja uma matriz em com parâmetros . Multiplicando por , temos:
Podemos reescrever isso como uma matriz na forma de com novos parâmetros , e . Assim, também pertence a , confirmando que é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 5
Com as três propriedades (presença da matriz zero, fechamento sob adição e multiplicação por escalar) verificadas, podemos concluir que é de fato um subespaço de .
Agora, vamos encontrar uma base para . Para isso, precisamos expressar qualquer matriz de como uma combinação linear de um conjunto de matrizes que sejam linearmente independentes.
Observando a definição de , vemos que as entradas dependem de , e . Podemos decompor a matriz em termos desses parâmetros:
As três matrizes multiplicadas por , e são linearmente independentes e qualquer matriz em pode ser construída como uma combinação linear delas. Portanto, uma base para é formada por essas três matrizes.
Resposta
é um subespaço de e uma base para é composta pelas seguintes três matrizes: