Mostre que o conjunto é um subespaço de e ache uma base para .
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão pede. Temos um conjunto E de matrizes 4 times 5 definidas por certas expressões envolvendo as variáveis x, y e z. Nosso objetivo é mostrar que esse conjunto é um subespaço de R^4 times 5, ou seja, que ele satisfaz as propriedades necessárias para ser considerado um subespaço vetorial. Além disso, vamos encontrar uma base para E, que é um conjunto de vetores (neste caso, matrizes) que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço. Para resolver isso, precisamos entender conceitos de álgebra linear como subespaços, combinação linear e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o conjunto E contém a matriz zero, que é uma condição essencial para ser um subespaço. A matriz zero é a matriz em que todos os elementos são zero. Substituindo x = 0, y = 0 e z = 0 nas expressões de E, obtemos:
Agora, vamos verificar se E é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas matrizes qualquer de E e somarmos, o resultado também deve estar em E. Seja A e B duas matrizes em E com parâmetros (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2), respectivamente. Somando A + B, teremos:
Podemos ver que o resultado da soma também segue a forma definida para E, com novos parâmetros x = x1 + x2, y = y1 + y2 e z = z1 + z2. Portanto, E é fechado sob adição.
Passo 4
Vamos agora confirmar se E é fechado sob multiplicação por escalar. Isto significa que se multiplicarmos uma matriz de E por qualquer número real k, o resultado também deve estar em E. Seja A uma matriz em E com parâmetros (x, y, z). Multiplicando por k, temos:
Podemos reescrever isso como uma matriz na forma de E com novos parâmetros x' = kx, y' = ky e z' = kz. Assim, kA também pertence a E, confirmando que E é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 5
Com as três propriedades (presença da matriz zero, fechamento sob adição e multiplicação por escalar) verificadas, podemos concluir que E é de fato um subespaço de R^4 times 5.
Agora, vamos encontrar uma base para E. Para isso, precisamos expressar qualquer matriz de E como uma combinação linear de um conjunto de matrizes que sejam linearmente independentes.
Observando a definição de E, vemos que as entradas dependem de x, y e z. Podemos decompor a matriz em termos desses parâmetros:
As três matrizes multiplicadas por x, y e z são linearmente independentes e qualquer matriz em E pode ser construída como uma combinação linear delas. Portanto, uma base para E é formada por essas três matrizes.
Resposta
E é um subespaço de R^4 times 5 e uma base para E é composta pelas seguintes três matrizes: