Mostre que o conjunto E subset R^4 times 5 é um subespaço de R^4 times 5 e ache uma base para E.
E=(ccccc x+y+z & y & 0 & 0 & 0 0 & 2 x+2 y & 2 x+2 y+2 z & 0 & 0 0 & y+x & 3 x+3 y & -x-y & 0 0 & 0 & x+y & & y+x ) ; x, y e z in R

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão pede. Temos um conjunto E de matrizes 4 times 5 definidas por certas expressões envolvendo as variáveis x, y e z. Nosso objetivo é mostrar que esse conjunto é um subespaço de R^4 times 5, ou seja, que ele satisfaz as propriedades necessárias para ser considerado um subespaço vetorial. Além disso, vamos encontrar uma base para E, que é um conjunto de vetores (neste caso, matrizes) que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço. Para resolver isso, precisamos entender conceitos de álgebra linear como subespaços, combinação linear e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o conjunto E contém a matriz zero, que é uma condição essencial para ser um subespaço. A matriz zero é a matriz em que todos os elementos são zero. Substituindo x = 0, y = 0 e z = 0 nas expressões de E, obtemos:

$$
0+0+0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 2 cdot 0 + 2 cdot 0 & 2 cdot 0 + 2 cdot 0 + 2 cdot 0 & 0 & 0 0 & 0+0 & 3 cdot 0 + 3 cdot 0 & -0-0 & 0 0 & 0 & 0+0 & & 0+0 = 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0

E
$$
Como a matriz zero está em , podemos continuar.

Passo 3

Agora, vamos verificar se E é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas matrizes qualquer de E e somarmos, o resultado também deve estar em E. Seja A e B duas matrizes em E com parâmetros (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2), respectivamente. Somando A + B, teremos:
A + B = (x1+y1+z1) + (x2+y2+z2) & y1 + y2 & 0 & 0 & 0 0 & (2x1+2y1) + (2x2+2y2) & (2x1+2y1+2z1) + (2x2+2y2+2z2) & 0 & 0 0 & (y1+x1) + (y2+x2) & (3x1+3y1) + (3x2+3y2) & (-x1-y1) + (-x2-y2) & 0 0 & 0 & (x1+y1) + (x2+y2) & & (y1+x1) + (y2+x2)
Podemos ver que o resultado da soma também segue a forma definida para E, com novos parâmetros x = x1 + x2, y = y1 + y2 e z = z1 + z2. Portanto, E é fechado sob adição.

Passo 4

Vamos agora confirmar se E é fechado sob multiplicação por escalar. Isto significa que se multiplicarmos uma matriz de E por qualquer número real k, o resultado também deve estar em E. Seja A uma matriz em E com parâmetros (x, y, z). Multiplicando por k, temos:
kA = k(x+y+z) & ky & 0 & 0 & 0 0 & k(2x+2y) & k(2x+2y+2z) & 0 & 0 0 & k(y+x) & k(3x+3y) & k(-x-y) & 0 0 & 0 & k(x+y) & & k(y+x)
Podemos reescrever isso como uma matriz na forma de E com novos parâmetros x' = kx, y' = ky e z' = kz. Assim, kA também pertence a E, confirmando que E é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Com as três propriedades (presença da matriz zero, fechamento sob adição e multiplicação por escalar) verificadas, podemos concluir que E é de fato um subespaço de R^4 times 5.
Agora, vamos encontrar uma base para E. Para isso, precisamos expressar qualquer matriz de E como uma combinação linear de um conjunto de matrizes que sejam linearmente independentes.
Observando a definição de E, vemos que as entradas dependem de x, y e z. Podemos decompor a matriz em termos desses parâmetros:
E = x cdot 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 2 & 0 & 0 0 & 1 & 3 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 + y cdot 1 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 2 & 0 & 0 0 & 1 & 3 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 1 + z cdot 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0
As três matrizes multiplicadas por x, y e z são linearmente independentes e qualquer matriz em E pode ser construída como uma combinação linear delas. Portanto, uma base para E é formada por essas três matrizes.

Resposta

E é um subespaço de R^4 times 5 e uma base para E é composta pelas seguintes três matrizes:
1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 2 & 0 & 0 0 & 1 & 3 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 , 1 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 2 & 0 & 0 0 & 1 & 3 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 1 , 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0

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