O conjunto U=(x, y) in R^2 ; y=2 x é um subespaço do R^2 ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos entender a questão! A gente tem o conjunto e queremos descobrir se esse conjunto é um subespaço de . Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de subespaço vetorial e verificar se satisfaz as três condições necessárias: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em 0 = 2 times 0 implies 0 = 0 . O vetor zero em é . Substituindo na equação :
Então, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos ver se y1 + y2 = 2x1 + 2x2 = 2(x1 + x2) é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em .
Sejam e em , então e .
A soma desses vetores é . Substituindo:
Então, , o que significa que a soma está em .

Passo 4

Por último, vamos verificar se (cx, cy) = (cx, c times 2x) = (cx, 2(cx)) é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos um vetor qualquer em e multiplicarmos por um escalar , o resultado também deve estar em .
Seja , então . Multiplicando por :
Ou seja, , o que mostra que também está em .

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço de , pois contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar.

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