conjunto
é um subespaço do
? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos entender a questão! A gente tem o conjunto
e queremos descobrir se esse conjunto é um subespaço de
. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de subespaço vetorial e verificar se
satisfaz as três condições necessárias: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na equação
:
Então, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
.
Sejam
e
em
, então
e
.
A soma desses vetores é
. Substituindo:
Então,
, o que significa que a soma está em
.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos um vetor qualquer em
e multiplicarmos por um escalar
, o resultado também deve estar em
.
Seja
, então
. Multiplicando por
:
Ou seja,
, o que mostra que
também está em
.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço de
, pois contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar.