É possível escrever o vetor (5,2,1) in R^3 como combinação linear de (2,1,4),(3,-2,-1) e (-2,3,4) ? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se conseguimos escrever o vetor (5,2,1) como uma combinação linear dos vetores (2,1,4), (3,-2,-1) e (-2,3,4). Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e sistemas de equações. Para resolver, vamos precisar montar e resolver um sistema de equações que nos diga se existe uma combinação desses vetores que resulta em (5,2,1).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Isso significa que queremos achar coeficientes a cdot (2,1,4) + b cdot (3,-2,-1) + c cdot (-2,3,4) = (5,2,1) , 2a + 3b - 2c = 5 1a - 2b + 3c = 2 4a - 1b + 4c = 1 e tais que:
Isso dá três equações correspondentes a cada componente do vetor:

Passo 3

Agora, vamos montar o sistema de equações:
Nosso objetivo é encontrar valores de , e que satisfaçam todas essas equações ao mesmo tempo.

Passo 4

Vamos resolver esse sistema usando o método da substituição ou eliminação. Vamos começar isolando uma das variáveis. Por exemplo, da segunda equação:
Agora, substituímos nas outras duas equações:

Passo 5

Vamos simplificar as equações resultantes:
Para a primeira equação:

  (Equação 4)
Para a segunda equação:

  (Equação 5)

Passo 6

Agora temos um novo sistema com duas equações:
  1.   (Equação 4)
  2.   (Equação 5)
Observamos que as duas equações são:
e

Passo 7

Se tentarmos subtrair uma equação da outra, teremos:
Isso simplifica para:
Isso é impossível, o que indica que o sistema não tem solução.

Resposta

Não, não é possível escrever o vetor (5,2,1) como combinação linear dos vetores (2,1,4), (3,-2,-1) e (-2,3,4).

Exercícios relacionados