É possível escrever o vetor como combinação linear de e ? Por quê?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se conseguimos escrever o vetor como uma combinação linear dos vetores , e . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e sistemas de equações. Para resolver, vamos precisar montar e resolver um sistema de equações que nos diga se existe uma combinação desses vetores que resulta em .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Isso significa que queremos achar coeficientes , e tais que:
Isso dá três equações correspondentes a cada componente do vetor:
Passo 3
Agora, vamos montar o sistema de equações:
Nosso objetivo é encontrar valores de , e que satisfaçam todas essas equações ao mesmo tempo.
Passo 4
Vamos resolver esse sistema usando o método da substituição ou eliminação. Vamos começar isolando uma das variáveis. Por exemplo, da segunda equação:
Agora, substituímos nas outras duas equações:
Passo 5
Vamos simplificar as equações resultantes:
Para a primeira equação: (Equação 4)
Para a segunda equação: (Equação 5)
Passo 6
Agora temos um novo sistema com duas equações:
(Equação 4)
(Equação 5)
Observamos que as duas equações são:
e
Passo 7
Se tentarmos subtrair uma equação da outra, teremos:
Isso simplifica para:
Isso é impossível, o que indica que o sistema não tem solução.
Resposta
Não, não é possível escrever o vetor (5,2,1) como combinação linear dos vetores (2,1,4), (3,-2,-1) e (-2,3,4).