Seja T: R^2 R^2 dado por T(x, y)=(3 x-2 y, 2 x+7 y), determine um vetor não nulo v=(x, y) tal que T(v)=5 v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar um vetor não nulo que, quando aplicamos a transformação nele, o resultado seja cinco vezes esse próprio vetor. Basicamente, estamos procurando um autovetor de correspondente ao autovalor 5. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares, autovetores e autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a condição dada pela transformação. A transformação T(x, y) = (3x - 2y, 2x + 7y) é definida por:
(3x - 2y, 2x + 7y) = (5x, 5y)
Queremos que , ou seja:

Passo 3

Isso nos dá um sistema de equações:
3x - 2y = 5x 2x + 7y = 5y
Vamos simplificar cada equação para encontrar uma relação entre e .

Passo 4

Para a primeira equação:
3x - 2y = 5x Rightarrow 3x - 5x = 2y Rightarrow -2x = 2y Rightarrow y = -x
Então, é igual a .

Passo 5

Vamos verificar se essa relação satisfaz a segunda equação:
2x + 7y = 5y Rightarrow 2x + 7(-x) = 5(-x) Rightarrow 2x - 7x = -5x Rightarrow -5x = -5x
A equação fica verdadeira, confirmando que nossa relação está correta.

Passo 6

Agora, escolhemos um valor para y = -1 diferente de zero (já que queremos um vetor não nulo). Vamos supor , então:
Portanto, um vetor que satisfaz é .

Resposta

Um vetor não nulo que satisfaz é .

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