Seja
dado por
, determine um vetor não nulo
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar um vetor não nulo
que, quando aplicamos a transformação
nele, o resultado seja cinco vezes esse próprio vetor. Basicamente, estamos procurando um autovetor de
correspondente ao autovalor 5. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares, autovetores e autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a condição dada pela transformação. A transformação
é definida por:
Queremos que
, ou seja:
Passo 3
Isso nos dá um sistema de equações:
Vamos simplificar cada equação para encontrar uma relação entre
e
.
Passo 4
Para a primeira equação:
Então,
é igual a
.
Passo 5
Vamos verificar se essa relação satisfaz a segunda equação:
A equação fica verdadeira, confirmando que nossa relação
está correta.
Passo 6
Agora, escolhemos um valor para
diferente de zero (já que queremos um vetor não nulo). Vamos supor
, então:
Portanto, um vetor que satisfaz
é
.
Resposta
Um vetor não nulo que satisfaz
é
.