No conjunto
sejam definidas as operações:
(i)
(ii)
.
Mostre que, com estas operações,
tem a estrutura de um espaço vetorial, conferindo que as propriedades que definem um espaço vetorial são verificadas.
(i)
(ii)
Mostre que, com estas operações,
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto
com duas operações definidas: adição de vetores e multiplicação por escalar. O objetivo é mostrar que
é um espaço vetorial verificando todas as propriedades necessárias. Para isso, vamos precisar entender as axiomas dos espaços vetoriais e aplicá-las passo a passo para confirmar que
satisfaz cada uma delas.
Passo 2
Axioma 1: Fechamento da adição
Primeiro, vamos verificar se a soma de dois vetores em
também está em
. Se tivermos
e
, então:
Como o segundo componente é sempre zero, a soma está novamente em
. Portanto,
é fechado sob a adição.
Axioma 2: Fechamento da multiplicação por escalar
Agora, verificamos se multiplicar um vetor em
por um escalar
resulta em um vetor que também está em
. Para
:
Novamente, o segundo componente permanece zero, então
está em
. Assim,
é fechado sob a multiplicação por escalar.
Passo 3
Axioma 3: Associatividade da adição
Vamos checar se a adição é associativa. Para vetores
:
Como os dois resultados são iguais, a adição é associativa.
Passo 4
Axioma 4: Comutatividade da adição
Agora, vamos ver se a adição é comutativa. Para
:
Como a soma de números reais é comutativa (
e
), temos
.
Passo 5
Axioma 5: Elemento neutro da adição
Precisamos encontrar um vetor
tal que
para todo
. Vamos definir:
Então,
Portanto,
é o elemento neutro da adição em
.
Passo 6
Axioma 6: Elemento inverso aditivo
Para cada
, precisamos de um vetor
tal que
. Se
, então:
Assim, cada vetor em
tem um inverso aditivo em
.
Passo 7
Axioma 7: Compatibilidade da multiplicação por escalar
Vamos verificar se
para escalares
e vetor
. Calculando ambos os lados:
Os dois resultados são iguais, então a compatibilidade está satisfeita.
Passo 8
Axioma 8: Elemento neutro da multiplicação por escalar
Precisamos confirmar que
onde
é o elemento neutro no campo dos escalares (
). Para
:
Portanto,
.
Passo 9
Axioma 9: Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial
Vamos verificar se
para
e escalar
. Calculando os dois lados:
Como a multiplicação de escalares é distributiva, os dois lados são iguais.
Passo 10
Axioma 10: Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição escalar
Finalmente, vamos checar se
para escalares
e vetor
. Calculando ambos:
Como
e
, os dois lados são iguais.
Resposta
Como todas as propriedades dos espaços vetoriais foram verificadas e satisfeitas, concluímos que
com as operações definidas é, de fato, um espaço vetorial.