No conjunto V=v=(v1, 0, v3) in R^3 mid vi in R sejam definidas as operações:
(i) v+u=(v1+u1, 0, v3+u3)
(ii) k v=(k v1, 0, k v3).
Mostre que, com estas operações, V tem a estrutura de um espaço vetorial, conferindo que as propriedades que definem um espaço vetorial são verificadas.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto com duas operações definidas: adição de vetores e multiplicação por escalar. O objetivo é mostrar que é um espaço vetorial verificando todas as propriedades necessárias. Para isso, vamos precisar entender as axiomas dos espaços vetoriais e aplicá-las passo a passo para confirmar que satisfaz cada uma delas.

Passo 2

Axioma 1: Fechamento da adição
Primeiro, vamos verificar se a soma de dois vetores em v + u = (v1 + u1, 0 + 0, v3 + u3) = (v1 + u1, 0, v3 + u3) também está em k v = (k v1, k cdot 0, k v3) = (k v1, 0, k v3) . Se tivermos e , então:
Como o segundo componente é sempre zero, a soma está novamente em . Portanto, é fechado sob a adição.
Axioma 2: Fechamento da multiplicação por escalar
Agora, verificamos se multiplicar um vetor em por um escalar resulta em um vetor que também está em . Para :
Novamente, o segundo componente permanece zero, então está em . Assim, é fechado sob a multiplicação por escalar.

Passo 3

Axioma 3: Associatividade da adição
Vamos checar se a adição é associativa. Para vetores (u + v) + w = (u1 + v1, 0, u3 + v3) + (w1, 0, w3) = (u1 + v1 + w1, 0, u3 + v3 + w3) :
u + (v + w) = u + (v1 + w1, 0, v3 + w3) = (u1 + v1 + w1, 0, u3 + v3 + w3)
Como os dois resultados são iguais, a adição é associativa.

Passo 4

Axioma 4: Comutatividade da adição
Agora, vamos ver se a adição é comutativa. Para u + v = (u1 + v1, 0, u3 + v3) :
v + u = (v1 + u1, 0, v3 + u3)
Como a soma de números reais é comutativa ( e ), temos .

Passo 5

Axioma 5: Elemento neutro da adição
Precisamos encontrar um vetor 0 = (0, 0, 0) tal que v + 0 = (v1 + 0, 0 + 0, v3 + 0) = (v1, 0, v3) = v para todo . Vamos definir:
Então,
Portanto, é o elemento neutro da adição em .

Passo 6

Axioma 6: Elemento inverso aditivo
Para cada -v = (-v1, 0, -v3) , precisamos de um vetor v + (-v) = (v1 - v1, 0 + 0, v3 - v3) = (0, 0, 0) = 0 tal que . Se , então:
Assim, cada vetor em tem um inverso aditivo em .

Passo 7

Axioma 7: Compatibilidade da multiplicação por escalar
Vamos verificar se k (m v) = k (m v1, 0, m v3) = (k m v1, 0, k m v3) para escalares (k m) v = ((k m) v1, 0, (k m) v3) e vetor . Calculando ambos os lados:
Os dois resultados são iguais, então a compatibilidade está satisfeita.

Passo 8

Axioma 8: Elemento neutro da multiplicação por escalar
Precisamos confirmar que 1 v = (1 cdot v1, 0, 1 cdot v3) = (v1, 0, v3) = v onde é o elemento neutro no campo dos escalares ( ). Para :
Portanto, .

Passo 9

Axioma 9: Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial
Vamos verificar se k (u + v) = k (u1 + v1, 0, u3 + v3) = (k(u1 + v1), 0, k(u3 + v3)) para k u + k v = (k u1, 0, k u3) + (k v1, 0, k v3) = (k u1 + k v1, 0, k u3 + k v3) e escalar . Calculando os dois lados:
Como a multiplicação de escalares é distributiva, os dois lados são iguais.

Passo 10

Axioma 10: Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição escalar
Finalmente, vamos checar se (k + m) v = ((k + m) v1, 0, (k + m) v3) para escalares k v + m v = (k v1, 0, k v3) + (m v1, 0, m v3) = (k v1 + m v1, 0, k v3 + m v3) e vetor . Calculando ambos:
Como e , os dois lados são iguais.

Resposta

Como todas as propriedades dos espaços vetoriais foram verificadas e satisfeitas, concluímos que com as operações definidas é, de fato, um espaço vetorial.

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