Determine Ker(T) e Im(T) dos funcionais lineares abaixo. Decida se são injetivo e/ou sobrejetivo: T: R^3 R dado por T(x, y, z)=x+2 y-z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função linear definida por . Nosso objetivo aqui é descobrir o núcleo ( ) e a imagem ( ) dessa função. Além disso, a gente vai decidir se essa função é injetora (cada entrada mapeia para uma saída única) ou sobrejetora (cobre todo o espaço de chegada).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma função linear. O núcleo x + 2y - z = 0 é o conjunto de todos os vetores de que são mapeados para zero pela função . Ou seja, queremos encontrar todos os tais que:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para expressar, por exemplo, x = z - 2y em função de (x, y, z) = (z - 2y, y, z) e :
Isso significa que qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como:

Passo 4

Podemos parametrizar esses vetores em termos de (x, y, z) = (t - 2s, s, t) = s(-2, 1, 0) + t(1, 0, 1) e . Vamos chamar e , onde e são números reais. Então, temos:
Isso mostra que o núcleo é gerado pelos vetores e .

Passo 5

Portanto, o núcleo de Ker(T) = span, (-2, 1, 0), (1, 0, 1) , é:
Isso significa que todo vetor no núcleo pode ser formado combinando esses dois vetores.

Passo 6

Agora, vamos determinar a imagem de , que é o conjunto de todas as saídas possíveis de . Como mapeia para , e a função é definida por , a imagem será todos os números reais que podem ser obtidos combinando , e .

Passo 7

Observando a expressão , vemos que, para qualquer número real , podemos escolher valores de , e que satisfaçam . Por exemplo, fixando , temos .

Passo 8

Isso mostra que a imagem de Im(T) = R é todo o conjunto de números reais:

Passo 9

Agora, vamos verificar se é injetora. Uma função linear é injetora se e somente se o núcleo contém apenas o vetor zero. No nosso caso, contém infinitos vetores além do zero, então não é injetora.

Passo 10

Para saber se é sobrejetora, verificamos se a imagem de cobre todo o espaço de chegada, que é . Como vimos que , isso significa que é sobrejetora.

Resposta

Ker(T) = span, (-2, 1, 0), (1, 0, 1) ,, Im(T) = R
A função não é injetora mas é sobrejetora.

Exercícios relacionados