Determine
e
dos funcionais lineares abaixo. Decida se são injetivo e/ou sobrejetivo:
dado por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função linear
definida por
. Nosso objetivo aqui é descobrir o núcleo (
) e a imagem (
) dessa função. Além disso, a gente vai decidir se essa função é injetora (cada entrada mapeia para uma saída única) ou sobrejetora (cobre todo o espaço de chegada).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma função linear. O núcleo
é o conjunto de todos os vetores de
que são mapeados para zero pela função
. Ou seja, queremos encontrar todos os
tais que:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para expressar, por exemplo,
em função de
e
:
Isso significa que qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como:
Passo 4
Podemos parametrizar esses vetores em termos de
e
. Vamos chamar
e
, onde
e
são números reais. Então, temos:
Isso mostra que o núcleo é gerado pelos vetores
e
.
Passo 5
Portanto, o núcleo de
é:
Isso significa que todo vetor no núcleo pode ser formado combinando esses dois vetores.
Passo 6
Agora, vamos determinar a imagem de
, que é o conjunto de todas as saídas possíveis de
. Como
mapeia
para
, e a função é definida por
, a imagem será todos os números reais que podem ser obtidos combinando
,
e
.
Passo 7
Observando a expressão
, vemos que, para qualquer número real
, podemos escolher valores de
,
e
que satisfaçam
. Por exemplo, fixando
, temos
.
Passo 8
Isso mostra que a imagem de
é todo o conjunto de números reais:
Passo 9
Agora, vamos verificar se
é injetora. Uma função linear é injetora se e somente se o núcleo contém apenas o vetor zero. No nosso caso,
contém infinitos vetores além do zero, então
não é injetora.
Passo 10
Para saber se
é sobrejetora, verificamos se a imagem de
cobre todo o espaço de chegada, que é
. Como vimos que
, isso significa que
é sobrejetora.
Resposta
A função
não é injetora mas é sobrejetora.
Exercícios relacionados
No conjunto
sejam definidas as operações:
(i)
(ii) .
Mostre que, com estas operações, tem a estrutura de um espaço vetorial, conferindo que as propriedades que definem um espaço vetorial são verificadas.
(i)
(ii)
Mostre que, com estas operações,
Prove que o subespaço vetorial formado pelos polinômios do tipo
e as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, é um subespaço vetorial de
.
Prove que o conjunto
com as operações:
(i)
(ii)
não é um espaço vetorial identificando quais das condições não são satisfeitas.
(i)
(ii)
não é um espaço vetorial identificando quais das condições não são satisfeitas.
Seja
uma transformação linear tal que
, $T(1,1,0)=(5,2,7),
:
é sobrejetiva? Justifique.