Prove que o conjunto
com as operações:
(i)
(ii)
não é um espaço vetorial identificando quais das condições não são satisfeitas.
(i)
(ii)
não é um espaço vetorial identificando quais das condições não são satisfeitas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que o conjunto
com as operações de adição e multiplicação por escalar dadas não é um espaço vetorial. Para isso, precisamos lembrar que um espaço vetorial precisa satisfazer certas propriedades (axiomas). Vamos verificar quais desses axiomas não são atendidos nesse conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as operações definidas:
-
Adição de vetores:
-
Multiplicação por escalar:
Notamos que, nas duas operações, o elemento na posição
sempre é 1, independentemente dos vetores e escalares usados.
Passo 3
Agora, vamos lembrar quais são os axiomas de um espaço vetorial. Vou citar alguns importantes que vamos verificar:
- Existência do vetor nulo: Deve existir um vetor
em tal que para todo . - Existência de inversos aditivos: Para todo
, deve existir em tal que . - Fechamento na adição: A soma de dois vetores em
deve estar em . - Fechamento na multiplicação por escalar: O produto de um escalar com um vetor em
deve estar em .
Vamos verificar esses axiomas um por um.
Passo 4
Verificando o vetor nulo:
O vetor nulo em um espaço vetorial deve ter todas as suas componentes iguais a zero. Vamos ver se existe um vetor
em
:
Observamos que o elemento
é 1, não 0. Portanto, não existe um vetor nulo em
, já que o vetor que teria que servir como nulo não cumpre essa condição. Isso já viola um dos axiomas fundamentais de um espaço vetorial.
Passo 5
Verificando os inversos aditivos:
Mesmo já tendo identificado que não há vetor nulo, vamos verificar se existem inversos aditivos. Para um vetor
, o inverso aditivo seria:
Somando
:
O resultado não é o vetor nulo (que deveria ter 1 no elemento
conforme a definição de
), mostrando que não existe um inverso aditivo adequado em
.
Passo 6
Verificando o fechamento na adição:
Vamos somar dois vetores quaisquer em
:
Perceba que o elemento
permanece 1 após a soma, o que está correto conforme a definição de adição. Porém, isso também implica que mesmo que
e
sejam inteiros, o elemento
sempre será 1, não permitindo a criação de vetores com outros valores nessa posição. Isso limita a estrutura e não permite que todos os vetores necessários para atender aos axiomas existam.
Passo 7
Verificando o fechamento na multiplicação por escalar:
Vamos multiplicar um vetor
por um escalar
:
Note que, independente do valor de
, o elemento
permanece 1. Mesmo que
, teríamos:
Novamente, isso não corresponde ao vetor nulo esperado, pois o elemento
não é zero. Além disso, limita a possibilidade de formar combinações lineares que exigiriam flexibilidade nesse elemento.
Resposta
Portanto, o conjunto
com as operações definidas não é um espaço vetorial, pois não satisfaz os axiomas de existência do vetor nulo e de inversos aditivos.
Exercícios relacionados
Determine
e
dos funcionais lineares abaixo. Decida se são injetivo e/ou sobrejetivo:
dado por
.
No conjunto
sejam definidas as operações:
(i)
(ii) .
Mostre que, com estas operações, tem a estrutura de um espaço vetorial, conferindo que as propriedades que definem um espaço vetorial são verificadas.
(i)
(ii)
Mostre que, com estas operações,
Seja
uma transformação linear tal que
, $T(1,1,0)=(5,2,7),
:
é sobrejetiva? Justifique.
Prove que o subconjunto
dos vetores de
com comprimento
é um espaço vetorial se foram definidas as seguintes operações:
(i) ,
(ii) .
(i)
(ii)