Prove que o conjunto com as operações:
(i)
(ii)
não é um espaço vetorial identificando quais das condições não são satisfeitas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que o conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar dadas não é um espaço vetorial. Para isso, precisamos lembrar que um espaço vetorial precisa satisfazer certas propriedades (axiomas). Vamos verificar quais desses axiomas não são atendidos nesse conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as operações definidas:
  1. Adição de vetores:
  2. Multiplicação por escalar:
Notamos que, nas duas operações, o elemento na posição sempre é 1, independentemente dos vetores e escalares usados.

Passo 3

Agora, vamos lembrar quais são os axiomas de um espaço vetorial. Vou citar alguns importantes que vamos verificar:
  1. Existência do vetor nulo: Deve existir um vetor em tal que para todo .
  2. Existência de inversos aditivos: Para todo , deve existir em tal que .
  3. Fechamento na adição: A soma de dois vetores em deve estar em .
  4. Fechamento na multiplicação por escalar: O produto de um escalar com um vetor em deve estar em .
Vamos verificar esses axiomas um por um.

Passo 4

Verificando o vetor nulo:
O vetor nulo em um espaço vetorial deve ter todas as suas componentes iguais a zero. Vamos ver se existe um vetor em :
Observamos que o elemento é 1, não 0. Portanto, não existe um vetor nulo em , já que o vetor que teria que servir como nulo não cumpre essa condição. Isso já viola um dos axiomas fundamentais de um espaço vetorial.

Passo 5

Verificando os inversos aditivos:
Mesmo já tendo identificado que não há vetor nulo, vamos verificar se existem inversos aditivos. Para um vetor , o inverso aditivo seria:
Somando :
O resultado não é o vetor nulo (que deveria ter 1 no elemento conforme a definição de ), mostrando que não existe um inverso aditivo adequado em .

Passo 6

Verificando o fechamento na adição:
Vamos somar dois vetores quaisquer em :
Perceba que o elemento permanece 1 após a soma, o que está correto conforme a definição de adição. Porém, isso também implica que mesmo que e sejam inteiros, o elemento sempre será 1, não permitindo a criação de vetores com outros valores nessa posição. Isso limita a estrutura e não permite que todos os vetores necessários para atender aos axiomas existam.

Passo 7

Verificando o fechamento na multiplicação por escalar:
Vamos multiplicar um vetor por um escalar :
Note que, independente do valor de , o elemento permanece 1. Mesmo que , teríamos:
Novamente, isso não corresponde ao vetor nulo esperado, pois o elemento não é zero. Além disso, limita a possibilidade de formar combinações lineares que exigiriam flexibilidade nesse elemento.

Resposta

Portanto, o conjunto com as operações definidas não é um espaço vetorial, pois não satisfaz os axiomas de existência do vetor nulo e de inversos aditivos.

Exercícios relacionados

Determine e dos funcionais lineares abaixo. Decida se são injetivo e/ou sobrejetivo: dado por .
No conjunto sejam definidas as operações:
(i)
(ii) .
Mostre que, com estas operações, tem a estrutura de um espaço vetorial, conferindo que as propriedades que definem um espaço vetorial são verificadas.
Seja uma transformação linear tal que , $T(1,1,0)=(5,2,7), : é sobrejetiva? Justifique.
Prove que o subconjunto dos vetores de com comprimento é um espaço vetorial se foram definidas as seguintes operações:
(i) ,
(ii) .