Prove que o subespaço vetorial formado pelos polinômios do tipo p(x)=a+x^2 e as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, é um subespaço vetorial de P2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que provar que o conjunto de todos os polinômios da forma p(x) = a + x^2, onde a é um número real, forma um subespaço vetorial de P2, que é o espaço de todos os polinômios de grau no máximo 2. Para isso, precisamos verificar três coisas básicas da teoria de espaços vetoriais: se o conjunto contém o vetor nulo, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificando o vetor nulo: O vetor nulo em P2 é o polinômio 0(x) = 0. Vamos ver se esse polinômio está no nosso conjunto. Se a = 0, então p(x) = 0 + x^2 = x^2. Mas o vetor nulo deveria ser exatamente zero, sem o termo x^2. Portanto, o vetor nulo não está no nosso conjunto.

Passo 3

Como o vetor nulo não está no conjunto, já podemos concluir que ele não é um subespaço vetorial. Mas, para ficar claro, vamos verificar as outras propriedades também.

Passo 4

Fechado sob adição: Se pegarmos dois polinômios do conjunto, digamos p(x) = a + x^2 e q(x) = b + x^2, a soma seria p(x) + q(x) = (a + b) + 2x^2. Observamos que o termo 2x^2 não segue a forma original a + x^2, então a soma desses polinômios não está no nosso conjunto.

Passo 5

Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos um polinômio do nosso conjunto por um escalar k, temos k cdot p(x) = k(a + x^2) = ka + kx^2. O termo kx^2 não corresponde à forma a + x^2 a menos que k = 1, o que não é sempre o caso. Assim, também não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto dos polinômios da forma p(x) = a + x^2 não é um subespaço vetorial de P2, pois não contém o vetor nulo e não é fechado sob adição e multiplicação por escalar.

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