Prove que o subespaço vetorial formado pelos polinômios do tipo
e as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que provar que o conjunto de todos os polinômios da forma
, onde
é um número real, forma um subespaço vetorial de
, que é o espaço de todos os polinômios de grau no máximo 2. Para isso, precisamos verificar três coisas básicas da teoria de espaços vetoriais: se o conjunto contém o vetor nulo, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificando o vetor nulo: O vetor nulo em
é o polinômio
. Vamos ver se esse polinômio está no nosso conjunto. Se
, então
. Mas o vetor nulo deveria ser exatamente zero, sem o termo
. Portanto, o vetor nulo não está no nosso conjunto.
Passo 3
Como o vetor nulo não está no conjunto, já podemos concluir que ele não é um subespaço vetorial. Mas, para ficar claro, vamos verificar as outras propriedades também.
Passo 4
Fechado sob adição: Se pegarmos dois polinômios do conjunto, digamos
e
, a soma seria
. Observamos que o termo
não segue a forma original
, então a soma desses polinômios não está no nosso conjunto.
Passo 5
Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos um polinômio do nosso conjunto por um escalar
, temos
. O termo
não corresponde à forma
a menos que
, o que não é sempre o caso. Assim, também não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto dos polinômios da forma
não é um subespaço vetorial de
, pois não contém o vetor nulo e não é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
Exercícios relacionados
Seja
definida por
. Seja
a base canônica para
e seja
outra base para
. Encontre a matriz que representa
em relaçāo a:
d)
d)
Determine
e
dos funcionais lineares abaixo. Decida se são injetivo e/ou sobrejetivo:
dado por
.
No conjunto
sejam definidas as operações:
(i)
(ii) .
Mostre que, com estas operações, tem a estrutura de um espaço vetorial, conferindo que as propriedades que definem um espaço vetorial são verificadas.
(i)
(ii)
Mostre que, com estas operações,
Determine
e
dos funcionais lineares abaixo. Decida se são injetivo e/ou sobrejetivo:
dado por
.