Prove que o subespaço vetorial formado pelos polinômios do tipo e as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, é um subespaço vetorial de .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que provar que o conjunto de todos os polinômios da forma , onde é um número real, forma um subespaço vetorial de , que é o espaço de todos os polinômios de grau no máximo 2. Para isso, precisamos verificar três coisas básicas da teoria de espaços vetoriais: se o conjunto contém o vetor nulo, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificando o vetor nulo: O vetor nulo em é o polinômio . Vamos ver se esse polinômio está no nosso conjunto. Se , então . Mas o vetor nulo deveria ser exatamente zero, sem o termo . Portanto, o vetor nulo não está no nosso conjunto.

Passo 3

Como o vetor nulo não está no conjunto, já podemos concluir que ele não é um subespaço vetorial. Mas, para ficar claro, vamos verificar as outras propriedades também.

Passo 4

Fechado sob adição: Se pegarmos dois polinômios do conjunto, digamos e , a soma seria . Observamos que o termo não segue a forma original , então a soma desses polinômios não está no nosso conjunto.

Passo 5

Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos um polinômio do nosso conjunto por um escalar , temos . O termo não corresponde à forma a menos que , o que não é sempre o caso. Assim, também não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto dos polinômios da forma não é um subespaço vetorial de , pois não contém o vetor nulo e não é fechado sob adição e multiplicação por escalar.

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Seja definida por . Seja a base canônica para e seja outra base para . Encontre a matriz que representa em relaçāo a:
d)
Determine e dos funcionais lineares abaixo. Decida se são injetivo e/ou sobrejetivo: dado por .
No conjunto sejam definidas as operações:
(i)
(ii) .
Mostre que, com estas operações, tem a estrutura de um espaço vetorial, conferindo que as propriedades que definem um espaço vetorial são verificadas.
Determine e dos funcionais lineares abaixo. Decida se são injetivo e/ou sobrejetivo: dado por .