Seja
definida por
. Seja
a base canônica para
e seja
outra base para
. Encontre a matriz que representa
em relaçāo a:
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear
definida por
. A base canônica
para
é o conjunto padrão que todo mundo conhece, e temos outra base
. Nosso objetivo aqui é encontrar a matriz que representa a transformação
em relação à base
. Isso envolve entender como
atua nos vetores dessa base e expressar os resultados nessa mesma base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz de uma transformação linear em relação a uma base
, precisamos ver como a transformação age sobre cada vetor da base
e expressar o resultado em termos dessa base.
Então, vamos aplicar
a cada um dos vetores da base
:
Passo 3
Agora, precisamos expressar esses resultados em termos da base
. Isso significa encontrar coeficientes
e
tais que:
Vamos resolver cada sistema para encontrar os coeficientes.
Passo 4
Primeiro, para
:
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo a segunda equação:
⇒
Substituindo na primeira equação:
⇒
⇒
⇒
Então,
Passo 5
Agora, para
:
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo a segunda equação:
⇒
Substituindo na primeira equação:
⇒
⇒
Então,
Passo 6
Com os coeficientes encontrados, podemos agora construir a matriz de
em relação à base
. Cada coluna dessa matriz será composta pelos coeficientes que encontramos para cada vetor da base
.
Então, a primeira coluna será
e a segunda coluna será
.
Resposta
A matriz que representa
em relação à base
é: