Seja definida por . Seja a base canônica para e seja outra base para . Encontre a matriz que representa em relaçāo a: d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . A base canônica para é o conjunto padrão que todo mundo conhece, e temos outra base . Nosso objetivo aqui é encontrar a matriz que representa a transformação em relação à base . Isso envolve entender como atua nos vetores dessa base e expressar os resultados nessa mesma base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz de uma transformação linear em relação a uma base , precisamos ver como a transformação age sobre cada vetor da base e expressar o resultado em termos dessa base. Então, vamos aplicar a cada um dos vetores da base : 1. 2.

Passo 3

Agora, precisamos expressar esses resultados em termos da base . Isso significa encontrar coeficientes e tais que: 1. 2. Vamos resolver cada sistema para encontrar os coeficientes.

Passo 4

Primeiro, para : Isso nos dá o sistema: Resolvendo a segunda equação: Substituindo na primeira equação: Então,

Passo 5

Agora, para : Isso nos dá o sistema: Resolvendo a segunda equação: Substituindo na primeira equação: Então,

Passo 6

Com os coeficientes encontrados, podemos agora construir a matriz de em relação à base . Cada coluna dessa matriz será composta pelos coeficientes que encontramos para cada vetor da base . Então, a primeira coluna será e a segunda coluna será .

Resposta

A matriz que representa em relação à base é:

Exercícios relacionados

Determine e dos funcionais lineares abaixo. Decida se são injetivo e/ou sobrejetivo: dado por .
Seja definida por . Seja a base canônica para e seja outra base para . Encontre a matriz que representa em relaçāo a: c) e
Prove que o subespaço vetorial formado pelos polinômios do tipo e as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, é um subespaço vetorial de .
No conjunto sejam definidas as operações: (i) (ii) . Mostre que, com estas operações, tem a estrutura de um espaço vetorial, conferindo que as propriedades que definem um espaço vetorial são verificadas.