Seja definida por . Seja a base canônica para e seja outra base para . Encontre a matriz que representa em relaçāo a:
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . A base canônica para é o conjunto padrão que todo mundo conhece, e temos outra base . Nosso objetivo aqui é encontrar a matriz que representa a transformação em relação à base . Isso envolve entender como atua nos vetores dessa base e expressar os resultados nessa mesma base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz de uma transformação linear em relação a uma base , precisamos ver como a transformação age sobre cada vetor da base e expressar o resultado em termos dessa base.
Então, vamos aplicar a cada um dos vetores da base :
1.
2.
Passo 3
Agora, precisamos expressar esses resultados em termos da base . Isso significa encontrar coeficientes e tais que:
1.
2.
Vamos resolver cada sistema para encontrar os coeficientes.
Passo 4
Primeiro, para :
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo a segunda equação: ⇒
Substituindo na primeira equação: ⇒ ⇒ ⇒
Então,
Passo 5
Agora, para :
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo a segunda equação: ⇒
Substituindo na primeira equação: ⇒ ⇒
Então,
Passo 6
Com os coeficientes encontrados, podemos agora construir a matriz de em relação à base . Cada coluna dessa matriz será composta pelos coeficientes que encontramos para cada vetor da base .
Então, a primeira coluna será e a segunda coluna será .
Resposta
A matriz que representa em relação à base é:
Exercícios relacionados
Determine e dos funcionais lineares abaixo. Decida se são injetivo e/ou sobrejetivo: dado por .
Seja definida por . Seja a base canônica para e seja outra base para . Encontre a matriz que representa em relaçāo a:
c) e
Prove que o subespaço vetorial formado pelos polinômios do tipo e as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, é um subespaço vetorial de .
No conjunto sejam definidas as operações:
(i)
(ii) .
Mostre que, com estas operações, tem a estrutura de um espaço vetorial, conferindo que as propriedades que definem um espaço vetorial são verificadas.