Seja L: R^2 R^2 definida por L([lx y])=[lx+2 y 2 x-y]. Seja S a base canônica para R^2 e seja T=[c-1 2],[l2 0] outra base para R^2. Encontre a matriz que representa L em relaçāo a:
d) T

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear x y definida por x + 2y 2x - y. A base canônica -1 2 para 2 0 é o conjunto padrão que todo mundo conhece, e temos outra base . Nosso objetivo aqui é encontrar a matriz que representa a transformação em relação à base . Isso envolve entender como atua nos vetores dessa base e expressar os resultados nessa mesma base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz de uma transformação linear em relação a uma base -1 2, precisamos ver como a transformação age sobre cada vetor da base (-1) + 2(2) 2(-1) - 2 e expressar o resultado em termos dessa base.
Então, vamos aplicar -1 + 4 -2 - 2 a cada um dos vetores da base 3 -4:
  1. 2 0
  2. 2 + 2(0) 2(2) - 0

Passo 3

Agora, precisamos expressar esses resultados em termos da base 3 -4. Isso significa encontrar coeficientes -1 2 e 2 0 tais que:
  1. 2 4
  2. -1 2
Vamos resolver cada sistema para encontrar os coeficientes.

Passo 4

Primeiro, para 3 -4:
Isso nos dá o sistema:
-1 2
Resolvendo a segunda equação: 2 0 - a + 2b = 3 2a = -4
Substituindo na primeira equação: 3 -4 -1 2 2 0
Então,

Passo 5

Agora, para 2 4:
Isso nos dá o sistema:
-1 2
Resolvendo a segunda equação: 2 0 - c + 2d = 2 2c = 4
Substituindo na primeira equação: 2 4 -1 2 2 0
Então,

Passo 6

Com os coeficientes encontrados, podemos agora construir a matriz de -2 12 em relação à base 2 2. Cada coluna dessa matriz será composta pelos coeficientes que encontramos para cada vetor da base .
Então, a primeira coluna será e a segunda coluna será .

Resposta

A matriz que representa -2 & 2 12 & 2 em relação à base é:

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