e multiplicação por escalares como no , ou seja, para cada ,
Nessas condições é um espaço vetorial? Por quê?
Axiomas do espaço vetorial: : existe elemento neutro ; existe oposto
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos o conjunto , que basicamente é o plano cartesiano . A operação de adição está definida como e a multiplicação por escalar segue a regra padrão de , ou seja, . Queremos descobrir se esse conjunto com essas operações forma um espaço vetorial, ou seja, se todas as regras (axiomas) de um espaço vetorial são satisfeitas.
Passo 2
Vamos começar verificando o Axioma A1: Comutatividade da Adição. Isso quer dizer que, para quaisquer dois vetores e em , deve ser igual a .
Por exemplo, sejam e . Então:
Como a soma de números reais é comutativa (), temos que . Portanto, o Axioma A1 é satisfeito.
Passo 3
Agora, vamos verificar o Axioma A2: Associatividade da Adição. Isso significa que, para quaisquer três vetores , e em , deve ser igual a .
Vamos calcular ambos os lados:
Como os resultados são iguais, o Axioma A2 também é satisfeito.
Passo 4
Vamos para o Axioma A3: Existência do Elemento Neutro. Precisamos encontrar um vetor em tal que, para qualquer vetor em , .
Vamos supor que . Então:
Para isso ser igual a , precisamos que . Porém, pode ser qualquer número real, o que significa que não existe um único vetor que funcione para todos os vetores em . Portanto, o Axioma A3 não é satisfeito.
Passo 5
Como o Axioma A3 já não foi satisfeito, podemos concluir que com as operações dadas não é um espaço vetorial. Não precisamos verificar os demais axiomas, já que a ausência de qualquer axioma invalida a estrutura de espaço vetorial.
Resposta
O conjunto com as operações definidas não é um espaço vetorial, pois não satisfaz o axioma que garante a existência de um elemento neutro para a adição.