No conjunto V=(x, y) mid x, y in R definamos (x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, 0)
e multiplicação por escalares como no R^2, ou seja, para cada a in R,
a(x, y)=(a x, a y)
Nessas condições V é um espaço vetorial? Por quê?
Axiomas do espaço vetorial:
A 1: u+v=v+u ; A 2:(u+v)+w=u+(v+w) ;
A 3 : existe elemento neutro 0: u+0=u;
A 4: existe oposto -u: u+(-u)=0
M 1: alpha(beta u)=(alpha beta) u ; M 2:(alpha+beta) u=alpha u+beta u ;
M 3: alpha(u+v)=alpha u+alpha v ; M 4: 1 u=u

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos o conjunto , que basicamente é o plano cartesiano . A operação de adição está definida como e a multiplicação por escalar segue a regra padrão de , ou seja, . Queremos descobrir se esse conjunto com essas operações forma um espaço vetorial, ou seja, se todas as regras (axiomas) de um espaço vetorial são satisfeitas.

Passo 2

Vamos começar verificando o Axioma A1: Comutatividade da Adição. Isso quer dizer que, para quaisquer dois vetores u + v = (x1 + x2, 0) e v + u = (x2 + x1, 0) em , deve ser igual a .
Por exemplo, sejam e . Então:
Como a soma de números reais é comutativa ( ), temos que . Portanto, o Axioma A1 é satisfeito.

Passo 3

Agora, vamos verificar o Axioma A2: Associatividade da Adição. Isso significa que, para quaisquer três vetores (u + v) + w = ( (x1 + x2, 0) ) + (x3, y3) = (x1 + x2 + x3, 0) , u + (v + w) = (x1, y1) + (x2 + x3, 0) = (x1 + x2 + x3, 0) e em , deve ser igual a .
Vamos calcular ambos os lados:
Como os resultados são iguais, o Axioma A2 também é satisfeito.

Passo 4

Vamos para o Axioma A3: Existência do Elemento Neutro. Precisamos encontrar um vetor u + 0 = (x, y1) + (0, y) = (x + 0, 0) = (x, 0) em tal que, para qualquer vetor em , .
Vamos supor que . Então:
Para isso ser igual a , precisamos que . Porém, pode ser qualquer número real, o que significa que não existe um único vetor que funcione para todos os vetores em . Portanto, o Axioma A3 não é satisfeito.

Passo 5

Como o Axioma A3 já não foi satisfeito, podemos concluir que com as operações dadas não é um espaço vetorial. Não precisamos verificar os demais axiomas, já que a ausência de qualquer axioma invalida a estrutura de espaço vetorial.

Resposta

O conjunto com as operações definidas não é um espaço vetorial, pois não satisfaz o axioma que garante a existência de um elemento neutro para a adição.

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