No conjunto
definamos
e multiplicação por escalares como no
, ou seja, para cada
,
Nessas condições
é um espaço vetorial? Por quê?
Axiomas do espaço vetorial:
: existe elemento neutro
;
existe oposto
Axiomas do espaço vetorial:
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos o conjunto
, que basicamente é o plano cartesiano
. A operação de adição está definida como
e a multiplicação por escalar segue a regra padrão de
, ou seja,
. Queremos descobrir se esse conjunto com essas operações forma um espaço vetorial, ou seja, se todas as regras (axiomas) de um espaço vetorial são satisfeitas.
Passo 2
Vamos começar verificando o Axioma A1: Comutatividade da Adição. Isso quer dizer que, para quaisquer dois vetores
e
em
,
deve ser igual a
.
Por exemplo, sejam
e
. Então:
Como a soma de números reais é comutativa (
), temos que
. Portanto, o Axioma A1 é satisfeito.
Passo 3
Agora, vamos verificar o Axioma A2: Associatividade da Adição. Isso significa que, para quaisquer três vetores
,
e
em
,
deve ser igual a
.
Vamos calcular ambos os lados:
Como os resultados são iguais, o Axioma A2 também é satisfeito.
Passo 4
Vamos para o Axioma A3: Existência do Elemento Neutro. Precisamos encontrar um vetor
em
tal que, para qualquer vetor
em
,
.
Vamos supor que
. Então:
Para isso ser igual a
, precisamos que
. Porém,
pode ser qualquer número real, o que significa que não existe um único vetor
que funcione para todos os vetores em
. Portanto, o Axioma A3 não é satisfeito.
Passo 5
Como o Axioma A3 já não foi satisfeito, podemos concluir que
com as operações dadas não é um espaço vetorial. Não precisamos verificar os demais axiomas, já que a ausência de qualquer axioma invalida a estrutura de espaço vetorial.
Resposta
O conjunto
com as operações definidas não é um espaço vetorial, pois não satisfaz o axioma que garante a existência de um elemento neutro para a adição.