Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são subespaço de R^3 ? Justifique.
(a) W=(x, y, z) mid x=0
(b) W=(x, y, z) mid x-3 z=0
© W=(x, y, z) mid x=1
(d) W=(x, y, z) mid z=2 x-y
(e) W=(x, y, z) mid x y=0
(f) W=(x, y, z) mid x=z^2
(g) W=(t, t, t) mid t in R
(h) W=(x, y, z) mid x >= 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa saber quais dos conjuntos listados são subespaços de . Para isso, vamos usar os critérios de subespaço: o conjunto tem que conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar. Vamos analisar cada item um por um.

Passo 2

Item (a):
Primeiro, verifica se o vetor zero está em . Sim, porque .
Agora, vamos ver se é fechado sob adição. Se pegarmos dois vetores de , digamos e , a soma é , que também satisfaz .
Por último, multiplicação por escalar. Se multiplicarmos por qualquer número , obtemos , que ainda tem .
Então, é um subespaço de .

Passo 3

Item (b):
Verificamos o vetor zero: , então está em .
Para adição, pegue e em . Temos e . A soma é . Então, , o que mantém a condição.
Para multiplicação por escalar, . Se , então , que também satisfaz a condição.
Logo, é um subespaço de .

Passo 4

Item ©:
Primeiro, o vetor zero não está em porque . Já falha no primeiro critério, então não é um subespaço.

Passo 5

Item (d):
Verificamos o vetor zero: , então está em .
Para adição, pegue e em . Temos e . A soma é , e , então mantém a condição.
Para multiplicação por escalar, . Se , então , que é , satisfazendo a condição.
Então, é um subespaço de .

Passo 6

Item (e):
Primeiro, o vetor zero está em porque .
Agora, vamos testar adição. Considere e em . A soma é , e . Então, não é fechado sob adição.
Logo, não é um subespaço de .

Passo 7

Item (f):
Verificamos o vetor zero: , então está em .
Agora, para adição, pegue e . A soma é . Para que estivesse em , teríamos , o que não é verdade a menos que um dos seja zero. Então, não é fechado sob adição.
Portanto, não é um subespaço de .

Passo 8

Item (g):
Verificamos o vetor zero: está em .
Para adição, se pegarmos e , a soma é , que também está em .
Para multiplicação por escalar, , que está em .
Então, é um subespaço de .

Passo 9

Item (h):
Primeiro, o vetor zero está em .
Agora, vamos testar adição. Pegue e onde e não é verdade, mas se assumirmos , a soma de dois vetores com também terá . Porém, a multiplicação por escalar falha. Se multiplicarmos por , obtemos , e não é maior ou igual a zero. Portanto, não é fechado sob multiplicação por escalar.
Assim, não é um subespaço de .

Resposta

Os conjuntos que são subespaços de são:
  • (a)
  • (b)
  • (d)
  • (g)

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