Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa saber quais dos conjuntos listados são subespaços de . Para isso, vamos usar os critérios de subespaço: o conjunto tem que conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar. Vamos analisar cada item um por um.
Passo 2
Item (a):
Primeiro, verifica se o vetor zero está em . Sim, porque .
Agora, vamos ver se é fechado sob adição. Se pegarmos dois vetores de , digamos e , a soma é , que também satisfaz .
Por último, multiplicação por escalar. Se multiplicarmos por qualquer número , obtemos , que ainda tem .
Então, é um subespaço de .
Passo 3
Item (b):
Verificamos o vetor zero: , então está em .
Para adição, pegue e em . Temos e . A soma é . Então, , o que mantém a condição.
Para multiplicação por escalar, . Se , então , que também satisfaz a condição.
Primeiro, o vetor zero não está em porque . Já falha no primeiro critério, então não é um subespaço.
Passo 5
Item (d):
Verificamos o vetor zero: , então está em .
Para adição, pegue e em . Temos e . A soma é , e , então mantém a condição.
Para multiplicação por escalar, . Se , então , que é , satisfazendo a condição.
Então, é um subespaço de .
Passo 6
Item (e):
Primeiro, o vetor zero está em porque .
Agora, vamos testar adição. Considere e em . A soma é , e . Então, não é fechado sob adição.
Logo, não é um subespaço de .
Passo 7
Item (f):
Verificamos o vetor zero: , então está em .
Agora, para adição, pegue e . A soma é . Para que estivesse em , teríamos , o que não é verdade a menos que um dos seja zero. Então, não é fechado sob adição.
Portanto, não é um subespaço de .
Passo 8
Item (g):
Verificamos o vetor zero: está em .
Para adição, se pegarmos e , a soma é , que também está em .
Para multiplicação por escalar, , que está em .
Então, é um subespaço de .
Passo 9
Item (h):
Primeiro, o vetor zero está em .
Agora, vamos testar adição. Pegue e onde e não é verdade, mas se assumirmos , a soma de dois vetores com também terá . Porém, a multiplicação por escalar falha. Se multiplicarmos por , obtemos , e não é maior ou igual a zero. Portanto, não é fechado sob multiplicação por escalar.