Quais dos seguintes conjuntos
abaixo são subespaço de
? Justifique.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa saber quais dos conjuntos
listados são subespaços de
. Para isso, vamos usar os critérios de subespaço: o conjunto tem que conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar. Vamos analisar cada item um por um.
Passo 2
Item (a):
Primeiro, verifica se o vetor zero
está em
. Sim, porque
.
Agora, vamos ver se é fechado sob adição. Se pegarmos dois vetores de
, digamos
e
, a soma é
, que também satisfaz
.
Por último, multiplicação por escalar. Se multiplicarmos
por qualquer número
, obtemos
, que ainda tem
.
Então,
é um subespaço de
.
Passo 3
Item (b):
Verificamos o vetor zero:
, então está em
.
Para adição, pegue
e
em
. Temos
e
. A soma é
. Então,
, o que mantém a condição.
Para multiplicação por escalar,
. Se
, então
, que também satisfaz a condição.
Logo,
é um subespaço de
.
Passo 4
Item ©:
Primeiro, o vetor zero
não está em
porque
. Já falha no primeiro critério, então
não é um subespaço.
Passo 5
Item (d):
Verificamos o vetor zero:
, então está em
.
Para adição, pegue
e
em
. Temos
e
. A soma é
, e
, então mantém a condição.
Para multiplicação por escalar,
. Se
, então
, que é
, satisfazendo a condição.
Então,
é um subespaço de
.
Passo 6
Item (e):
Primeiro, o vetor zero
está em
porque
.
Agora, vamos testar adição. Considere
e
em
. A soma é
, e
. Então, não é fechado sob adição.
Logo,
não é um subespaço de
.
Passo 7
Item (f):
Verificamos o vetor zero:
, então está em
.
Agora, para adição, pegue
e
. A soma é
. Para que estivesse em
, teríamos
, o que não é verdade a menos que um dos
seja zero. Então, não é fechado sob adição.
Portanto,
não é um subespaço de
.
Passo 8
Item (g):
Verificamos o vetor zero:
está em
.
Para adição, se pegarmos
e
, a soma é
, que também está em
.
Para multiplicação por escalar,
, que está em
.
Então,
é um subespaço de
.
Passo 9
Item (h):
Primeiro, o vetor zero
está em
.
Agora, vamos testar adição. Pegue
e
onde
e
não é verdade, mas se assumirmos
, a soma de dois vetores com
também terá
. Porém, a multiplicação por escalar falha. Se multiplicarmos
por
, obtemos
, e
não é maior ou igual a zero. Portanto, não é fechado sob multiplicação por escalar.
Assim,
não é um subespaço de
.
Resposta
Os conjuntos que são subespaços de
são:
- (a)
- (b)
- (d)
- (g)