Resolva o sistema de equações, escrevendo as matrizes ampliadas, associadas aos novos sistemas.
rr 2 x-y+3 z= & 11 4 x-3 y+2 z= & 0 x+y+z= & 6 3 x+y+z= & 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O problema que temos aqui envolve um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . Para resolver esse tipo de sistema, vamos usar matrizes ampliadas e aplicar métodos de resolução, como a eliminação de Gauss. Vamos precisar organizar as equações em uma matriz e fazer algumas operações para encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz ampliada do sistema. A matriz ampliada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes das equações. Nosso sistema é:
rcl 2x - y + 3z &=& 11 4x - 3y + 2z &=& 0 x + y + z &=& 6 3x + y + z &=& 4
A matriz ampliada fica assim:
2 & -1 & 3 & | & 11 4 & -3 & 2 & | & 0 1 & 1 & 1 & | & 6 3 & 1 & 1 & | & 4

Passo 3

Agora, vamos começar a simplificar essa matriz para encontrar os valores das variáveis. Nosso objetivo é transformar a matriz em uma forma triangular, onde conseguimos isolar uma variável de cada vez. Vamos começar pela primeira coluna.
Vamos usar a primeira linha para eliminar o das outras linhas. Para isso:
  • Para a segunda linha: Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
  • Para a terceira linha: Subtraímos 0,5 vezes a primeira linha da terceira linha.
  • Para a quarta linha: Subtraímos 1,5 vezes a primeira linha da quarta linha.
Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 4

Primeiro, ajustamos a segunda linha:
R2 = R2 - 2 times R1
Calculando:
4 - 2 times 2 = 0 -3 - 2 times (-1) = -3 + 2 = -1 2 - 2 times 3 = 2 - 6 = -4 0 - 2 times 11 = 0 - 22 = -22
A segunda linha fica:
[0 -1 -4 | -22]

Passo 5

Agora, ajustamos a terceira linha:
R3 = R3 - 0.5 times R1
Calculando:
1 - 0.5 times 2 = 1 - 1 = 0 1 - 0.5 times (-1) = 1 + 0.5 = 1.5 1 - 0.5 times 3 = 1 - 1.5 = -0.5 6 - 0.5 times 11 = 6 - 5.5 = 0.5
A terceira linha fica:
[0 1.5 -0.5 | 0.5]

Passo 6

Agora, ajustamos a quarta linha:
R4 = R4 - 1.5 times R1
Calculando:
3 - 1.5 times 2 = 3 - 3 = 0 1 - 1.5 times (-1) = 1 + 1.5 = 2.5 1 - 1.5 times 3 = 1 - 4.5 = -3.5 4 - 1.5 times 11 = 4 - 16.5 = -12.5
A quarta linha fica:
[0 2.5 -3.5 | -12.5]

Passo 7

Nossa matriz agora está assim:
2 & -1 & 3 & | & 11 0 & -1 & -4 & | & -22 0 & 1.5 & -0.5 & | & 0.5 0 & 2.5 & -3.5 & | & -12.5
Vamos focar na segunda coluna para eliminar as variáveis abaixo dela. Vamos usar a segunda linha para isso.

Passo 8

Primeiro, vamos multiplicar a segunda linha por -1 para facilitar os cálculos:
R2 = -1 times R2
Calculando:
0 times (-1) = 0 -1 times (-1) = 1 -4 times (-1) = 4 -22 times (-1) = 22
A segunda linha fica:
[0 1 4 | 22]

Passo 9

Agora, vamos eliminar o R3 = R3 - 1.5 times R2 da terceira e quarta linhas usando a segunda linha.
Para a terceira linha:
0 - 1.5 times 0 = 0 1.5 - 1.5 times 1 = 1.5 - 1.5 = 0 -0.5 - 1.5 times 4 = -0.5 - 6 = -6.5 0.5 - 1.5 times 22 = 0.5 - 33 = -32.5
Calculando:
[0 0 -6.5 | -32.5]
A terceira linha fica:
R4 = R4 - 2.5 times R2
Para a quarta linha:
0 - 2.5 times 0 = 0 2.5 - 2.5 times 1 = 2.5 - 2.5 = 0 -3.5 - 2.5 times 4 = -3.5 - 10 = -13.5 -12.5 - 2.5 times 22 = -12.5 - 55 = -67.5
Calculando:
[0 0 -13.5 | -67.5]
A quarta linha fica:

Passo 10

Nossa matriz agora está assim:
2 & -1 & 3 & | & 11 0 & 1 & 4 & | & 22 0 & 0 & -6.5 & | & -32.5 0 & 0 & -13.5 & | & -67.5
Vamos simplificar as equações das últimas linhas para encontrar .

Passo 11

Vamos dividir a terceira linha por -6.5 para isolar R3 = R3-6.5 :
0 div -6.5 = 0 0 div -6.5 = 0 -6.5 div -6.5 = 1 -32.5 div -6.5 = 5
Calculando:
[0 0 1 | 5]
A terceira linha fica:
2 & -1 & 3 & | & 11 0 & 1 & 4 & | & 22 0 & 0 & 1 & | & 5 0 & 0 & -13.5 & | & -67.5
Agora, nossa matriz é:

Passo 12

Vamos usar a terceira linha para eliminar R4 = R4 + 13.5 times R3 da quarta linha:
0 + 13.5 times 0 = 0 0 + 13.5 times 0 = 0 -13.5 + 13.5 times 1 = -13.5 + 13.5 = 0 -67.5 + 13.5 times 5 = -67.5 + 67.5 = 0
Calculando:
[0 0 0 | 0]
A quarta linha fica:
Isso significa que a quarta equação não adiciona novas informações ao sistema.

Passo 13

Agora, temos a seguinte matriz:
2 & -1 & 3 & | & 11 0 & 1 & 4 & | & 22 0 & 0 & 1 & | & 5 0 & 0 & 0 & | & 0
Vamos interpretar essas equações:
A quarta equação é redundante e não afeta a solução.

Passo 14

Começamos substituindo o valor de z = 5 encontrado na terceira equação:
y + 4(5) = 22 y + 20 = 22 y = 22 - 20 y = 2
Agora, substituímos na segunda equação para encontrar :

Passo 15

Por fim, substituímos os valores de 2x - y + 3z = 11 2x - 2 + 15 = 11 (já que ( y = 2 ) e ( z = 5 )) 2x + 13 = 11 2x = 11 - 13 2x = -2 x = -22 x = -1 e na primeira equação para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é:
x = -1, y = 2, z = 5

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