Resolva o sistema de equações, escrevendo as matrizes ampliadas, associadas aos novos sistemas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O problema que temos aqui envolve um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . Para resolver esse tipo de sistema, vamos usar matrizes ampliadas e aplicar métodos de resolução, como a eliminação de Gauss. Vamos precisar organizar as equações em uma matriz e fazer algumas operações para encontrar os valores de , e .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz ampliada do sistema. A matriz ampliada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes das equações. Nosso sistema é:
rcl 2x - y + 3z &=& 11 4x - 3y + 2z &=& 0 x + y + z &=& 6 3x + y + z &=& 4
Agora, vamos começar a simplificar essa matriz para encontrar os valores das variáveis. Nosso objetivo é transformar a matriz em uma forma triangular, onde conseguimos isolar uma variável de cada vez. Vamos começar pela primeira coluna.
Vamos usar a primeira linha para eliminar o das outras linhas. Para isso:
Para a segunda linha: Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
Para a terceira linha: Subtraímos 0,5 vezes a primeira linha da terceira linha.
Para a quarta linha: Subtraímos 1,5 vezes a primeira linha da quarta linha.
Vamos fazer isso passo a passo.
Passo 4
Primeiro, ajustamos a segunda linha:
R2 = R2 - 2 times R1
Calculando:
4 - 2 times 2 = 0 -3 - 2 times (-1) = -3 + 2 = -1 2 - 2 times 3 = 2 - 6 = -4 0 - 2 times 11 = 0 - 22 = -22
A quarta equação é redundante e não afeta a solução.
Passo 14
Começamos substituindo o valor de z = 5 encontrado na terceira equação:
y + 4(5) = 22 y + 20 = 22 y = 22 - 20 y = 2
Agora, substituímos na segunda equação para encontrar :
Passo 15
Por fim, substituímos os valores de 2x - y + 3z = 11 2x - 2 + 15 = 11 (já que ( y = 2 ) e ( z = 5 )) 2x + 13 = 11 2x = 11 - 13 2x = -2 x = -22 x = -1 e na primeira equação para encontrar :