No conjunto
, definamos a
e a multiplicação por escalares como no
, ou seja, para cada
,
Nestas condições,
é um espaço vetorial sobre
? Por quê?
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto
, que basicamente representa todos os pares de números reais. Nesse conjunto, definimos uma forma especial de somar dois vetores e uma maneira de multiplicar um vetor por um escalar (um número real). A pergunta é: com essas definições,
é um espaço vetorial sobre
? Para descobrir isso, vamos precisar verificar se todas as regras que definem um espaço vetorial são satisfeitas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de uma operação de adição e de multiplicação por escalar, satisfaz várias propriedades, como associatividade, existência de um elemento neutro (vetor zero), existência de inversos aditivos, e distributividade da multiplicação sobre a adição.
Passo 3
Vamos começar verificando a associatividade da adição. Isso significa que, para quaisquer três vetores
em
, a soma
deve ser igual a
.
Tomemos
,
e
. Aplicando a definição de soma:
Por outro lado:
Como os resultados são iguais, a associatividade da adição é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a existência do elemento neutro para a adição. Um elemento neutro é um vetor que, quando somado a qualquer vetor do conjunto, retorna o próprio vetor.
Vamos procurar um vetor
tal que
para qualquer
em
.
Aplicando a definição de soma:
Para que isso seja igual a
, precisamos que:
A primeira equação nos dá
, mas a segunda equação requer que
, o que não é verdade para todos os vetores em
. Portanto, não existe um elemento neutro válido para todos os vetores.
Passo 5
Como não existe um elemento neutro para a adição em
, isso já nos indica que
não satisfaz todas as propriedades de um espaço vetorial. Mesmo que outras propriedades pudessem ser satisfeitas, a ausência de um elemento neutro impede que
seja considerado um espaço vetorial.
Resposta
Não,
não é um espaço vetorial sobre
porque não possui um elemento neutro para a adição definido para todos os vetores, violando assim as propriedades necessárias de um espaço vetorial.
Exercícios relacionados
Dadas as matrizes
e
, calcule:
(a) .
(a)
Sendo
, com
e
, com
, calcule:
© .
©
Considere a transformação linear
dada por
a) Encontre
.
Resolver as equações abaixo.