No conjunto V=(x, y) ; x, y in R, definamos a
(x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, 0)
e a multiplicação por escalares como no R^2, ou seja, para cada alpha in R,
alpha(x, y)=(alpha x, alpha y)
Nestas condições, V é um espaço vetorial sobre R ? Por quê?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto , que basicamente representa todos os pares de números reais. Nesse conjunto, definimos uma forma especial de somar dois vetores e uma maneira de multiplicar um vetor por um escalar (um número real). A pergunta é: com essas definições, é um espaço vetorial sobre ? Para descobrir isso, vamos precisar verificar se todas as regras que definem um espaço vetorial são satisfeitas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de uma operação de adição e de multiplicação por escalar, satisfaz várias propriedades, como associatividade, existência de um elemento neutro (vetor zero), existência de inversos aditivos, e distributividade da multiplicação sobre a adição.

Passo 3

Vamos começar verificando a associatividade da adição. Isso significa que, para quaisquer três vetores (u + v) + w = (x1 + x2, 0) + (x3, y3) = ((x1 + x2) + x3, 0) = (x1 + x2 + x3, 0) em u + (v + w) = (x1, y1) + (x2 + x3, 0) = (x1 + (x2 + x3), 0) = (x1 + x2 + x3, 0) , a soma deve ser igual a .
Tomemos , e . Aplicando a definição de soma:
Por outro lado:
Como os resultados são iguais, a associatividade da adição é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a existência do elemento neutro para a adição. Um elemento neutro é um vetor que, quando somado a qualquer vetor do conjunto, retorna o próprio vetor.
Vamos procurar um vetor (x, y) + (a, b) = (x + a, 0) tal que (x + a, 0) = (x, y) implies x + a = x e 0 = y para qualquer em .
Aplicando a definição de soma:
Para que isso seja igual a , precisamos que:
A primeira equação nos dá , mas a segunda equação requer que , o que não é verdade para todos os vetores em . Portanto, não existe um elemento neutro válido para todos os vetores.

Passo 5

Como não existe um elemento neutro para a adição em , isso já nos indica que não satisfaz todas as propriedades de um espaço vetorial. Mesmo que outras propriedades pudessem ser satisfeitas, a ausência de um elemento neutro impede que seja considerado um espaço vetorial.

Resposta

Não, não é um espaço vetorial sobre porque não possui um elemento neutro para a adição definido para todos os vetores, violando assim as propriedades necessárias de um espaço vetorial.

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