Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o Núcleo de uma transformação linear definida por:
O conteúdo que vamos usar aqui é o estudo de transformações lineares e seus núcleos. Precisamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a condição para que um vetor esteja no núcleo de . Isso significa que:
Então, temos o sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começamos pela última equação:
w = 0
Agora que sabemos que z - 0 = 0 Rightarrow z = 0 , substituímos esse valor na segunda equação:
x + y - 0 + 0 = 0 Rightarrow x + y = 0
Com x + y = 0 e , a terceira equação fica:
Isso confirma a primeira equação, que já tínhamos:
Passo 4
Agora, sabemos que:
w = 0 z = 0 x = -y
Isso significa que podemos expressar x = -t y = t z = 0 w = 0 em termos de . Vamos escolher como parâmetro livre, ou seja, , onde é qualquer número real.
Então, temos:
Resposta
O Núcleo de Núc<=o(T) = , (-t, t, 0, 0) | t in R , é o conjunto de todos os vetores da forma , onde é um número real. Em notação vetorial: