Considere a transformação linear T: R^4 R^4 dada por
T(x, y, z, w)=(x+y, z-w, x+y-z+w, w)
a) Encontre N u c(T).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o Núcleo de uma transformação linear T(x, y, z, w) = (x + y, z - w, x + y - z + w, w) definida por:
O conteúdo que vamos usar aqui é o estudo de transformações lineares e seus núcleos. Precisamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear , denotado por ú, é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a condição para que um vetor T(x, y, z, w) = (0, 0, 0, 0) esteja no núcleo de x + y = 0 z - w = 0 x + y - z + w = 0 w = 0 . Isso significa que:
Então, temos o sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começamos pela última equação:
w = 0
Agora que sabemos que z - 0 = 0 Rightarrow z = 0 , substituímos esse valor na segunda equação:
x + y - 0 + 0 = 0 Rightarrow x + y = 0
Com x + y = 0 e , a terceira equação fica:
Isso confirma a primeira equação, que já tínhamos:

Passo 4

Agora, sabemos que:
w = 0 z = 0 x = -y
Isso significa que podemos expressar x = -t y = t z = 0 w = 0 em termos de . Vamos escolher como parâmetro livre, ou seja, , onde é qualquer número real.
Então, temos:

Resposta

O Núcleo de Núc<=o(T) = , (-t, t, 0, 0) | t in R , é o conjunto de todos os vetores da forma , onde é um número real. Em notação vetorial:
ú

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No conjunto V=(x, y) ; x, y in R, definamos a
(x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, 0)
e a multiplicação por escalares como no R^2, ou seja, para cada alpha in R,
alpha(x, y)=(alpha x, alpha y)
Nestas condições, V é um espaço vetorial sobre R ? Por quê?
Dadas as matrizes A=(ll2 & 3 0 & 1), B=(ll0 & 4 3 & 2) e C=(cc15 & 14 0 & 18), calcule:
(a) 3(A-B)+3(B-C)+3(C-A).
Resolver as equações abaixo.
|cccx-2 & x+3 & x-1 2 & 1 & 3 3 & 2 & 1|=0
Dadas as matrizes A=(ll2 & 3 0 & 1), B=(ll0 & 4 3 & 2) e C=(cc15 & 14 0 & 18), calcule:
© a matriz X tal que 3(X-A)+2 B=4(X-A+2 C).