Se o conjunto v1, v2, v3, ldots, vm é L.I., mostre que o mesmo ocorre com o conjunto de vetores v1, v2-v1, v3-v1, ldots, vm-v1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos diz que temos um conjunto de vetores v1, v2, v3, ldots, vm que é linearmente independente (L.I.). Nosso objetivo é mostrar que o conjunto formado por v1, v2-v1, v3-v1, ldots, vm-v1 também é L.I. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de combinação linear e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Isso quer dizer que a única maneira de combinar esses vetores para obter o vetor zero é se todos os coeficientes da combinação forem zero. Em outras palavras, se c1v1 + c2v2 + ldots + cmvm = 0 implica que c1 = c2 = ldots = cm = 0.

Passo 3

Agora, vamos considerar o novo conjunto de vetores: v1, v2-v1, v3-v1, ldots, vm-v1. Para mostrar que esse conjunto também é L.I., precisamos verificar se a única solução para a combinação linear igual a zero é que todos os coeficientes sejam zero.

Passo 4

Vamos supor que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero:
a1v1 + a2(v2 - v1) + a3(v3 - v1) + ldots + am(vm - v1) = 0
Nosso objetivo é mostrar que a1 = a2 = ldots = am = 0.

Passo 5

Vamos distribuir os coeficientes na equação:
a1v1 + a2v2 - a2v1 + a3v3 - a3v1 + ldots + amvm - amv1 = 0
Agrupando os termos com v1:
(a1 - a2 - a3 - ldots - am)v1 + a2v2 + a3v3 + ldots + amvm = 0

Passo 6

Como sabemos que o conjunto original v1, v2, v3, ldots, vm é linearmente independente, a única solução para essa equação é que todos os coeficientes sejam zero. Portanto, temos:
a1 - a2 - a3 - ldots - am = 0
e
a2 = 0, a3 = 0, ldots, am = 0

Passo 7

Substituindo a2 = a3 = ldots = am = 0 na primeira equação, obtemos:
a1 - 0 - 0 - ldots - 0 = a1 = 0
Portanto, todos os coeficientes a1, a2, ldots, am são iguais a zero.

Resposta

Concluímos que o conjunto v1, v2-v1, v3-v1, ldots, vm-v1 é linearmente independente.

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