Se o conjunto
é L.I., mostre que o mesmo ocorre com o conjunto de vetores
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos diz que temos um conjunto de vetores
que é linearmente independente (L.I.). Nosso objetivo é mostrar que o conjunto formado por
também é L.I. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de combinação linear e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Isso quer dizer que a única maneira de combinar esses vetores para obter o vetor zero é se todos os coeficientes da combinação forem zero. Em outras palavras, se
implica que
.
Passo 3
Agora, vamos considerar o novo conjunto de vetores:
. Para mostrar que esse conjunto também é L.I., precisamos verificar se a única solução para a combinação linear igual a zero é que todos os coeficientes sejam zero.
Passo 4
Vamos supor que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero:
Nosso objetivo é mostrar que
.
Passo 5
Vamos distribuir os coeficientes na equação:
Agrupando os termos com
:
Passo 6
Como sabemos que o conjunto original
é linearmente independente, a única solução para essa equação é que todos os coeficientes sejam zero. Portanto, temos:
e
Passo 7
Substituindo
na primeira equação, obtemos:
Portanto, todos os coeficientes
são iguais a zero.
Resposta
Concluímos que o conjunto
é linearmente independente.