Determine os possíveis valores para k para que o conjunto B seja um conjunto LD , onde B=(2 k, 1,0),(1, k, 1),(0,1,2 k).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores B = (2k, 1, 0), (1, k, 1), (0, 1, 2k) e precisamos descobrir para quais valores de k esse conjunto é linearmente dependente (LD). Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre dependência e independência linear de vetores. Para resolver isso, vamos usar o conceito de determinante de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz. Cada vetor será uma coluna da matriz:
A = 2k & 1 & 0 1 & k & 1 0 & 1 & 2k

Passo 3

Sabemos que um conjunto de vetores é linearmente dependente se o determinante da matriz formada por eles for igual a zero. Então, vamos calcular o determinante da matriz A e igualar a zero:
det(A) = 0

Passo 4

Vamos calcular o determinante usando a regra de Sarrus ou a expansão de cofactores. Aqui, vamos usar a regra de Sarrus:
det(A) = 2k cdot (k cdot 2k - 1 cdot 1) - 1 cdot (1 cdot 2k - 1 cdot 0) + 0 cdot (1 cdot 1 - k cdot 0)
Simplificando:
det(A) = 2k (2k^2 - 1) - 1 (2k) + 0
det(A) = 4k^3 - 2k - 2k
det(A) = 4k^3 - 4k

Passo 5

Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar os valores de k:
4k^3 - 4k = 0
Fatorando:
4k(k^2 - 1) = 0
Isso nos dá:
k = 0 ou k^2 - 1 = 0
k = 0 ou k = pm 1

Resposta

Os possíveis valores para k são k = -1, k = 0 e k = 1.

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