Determine o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores e .
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para descobrir o volume de um paralelepípedo formado pelos vetores , e . Isso está dentro da matéria de álgebra vetorial, especificamente envolvendo vetores e operações como produto vetorial e produto escalar. Para resolver isso, a gente vai precisar calcular o produto misto escalar desses vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um paralelepípedo. Ele é um sólido geométrico com seis faces, todas retangulares, e é gerado por três vetores que partem do mesmo ponto. O volume desse paralelepípedo pode ser encontrado usando o produto misto escalar dos três vetores.
Passo 3
O produto misto escalar é uma operação que envolve dois passos principais: primeiro, calculamos o produto vetorial de dois dos vetores, e depois fazemos o produto escalar desse resultado com o terceiro vetor. Matematicamente, fica assim:
V = f1 cdot (f2 times f3)
Onde:
é o produto vetorial entre e ,
é o produto escalar entre e o resultado do produto vetorial.
Passo 4
Vamos detalhar como calcular cada parte:
Produto Vetorial ():
O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A magnitude desse vetor é igual à área do paralelogramo formado por e .
Produto Escalar ():
Depois de obter o vetor resultante do produto vetorial, fazemos o produto escalar com . Esse produto escalar nos dá um número que representa o volume do paralelepípedo.
Resposta
Portanto, o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores V = f1 cdot (f2 times f3) , e é dado por: