O conjunto dos vetores abaixo formam uma base para R^3 ? Justifique
(a) (1,1,2),(0,1,0),(-1,1,-2).
(b) (1,1,1),(1,0,-1),(0,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos ver se os conjuntos de vetores dados formam uma base para . Uma base precisa que os vetores sejam linearmente independentes e que possuam exatamente três vetores (já que estamos falando de ). Para verificar a independência linear, vamos montar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e, portanto, formam uma base.

Passo 2

Parte (a): A = 1 & 0 & -1 1 & 1 & 1 2 & 0 & -2

Vamos montar a matriz com esses vetores como colunas:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Calculando o Determinante

O determinante de uma matriz det(A) = 1(1 cdot (-2) - 1 cdot 0) - 0(1 cdot (-2) - 1 cdot 2) + (-1)(1 cdot 0 - 1 cdot 2) pode ser calculado assim:
det(A) = 1(-2 - 0) - 0(-2 - 2) + (-1)(0 - 2) = -2 + 0 + 2 = 0
Aplicando isso à nossa matriz:
Simplificando:
Como o determinante é 0, os vetores não são linearmente independentes e, portanto, não formam uma base para .

Passo 3

Parte (b): B = 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 1 & -1 & 1

Vamos montar a matriz com esses vetores como colunas:
det(B) = 1(0 cdot 1 - 1 cdot (-1)) - 1(1 cdot 1 - 1 cdot 1) + 0(1 cdot (-1) - 0 cdot 1)

Calculando o Determinante

Usando a mesma fórmula:
det(B) = 1(0 + 1) - 1(1 - 1) + 0(-1 - 0) = 1 - 0 + 0 = 1
Simplificando:
Como o determinante é 1, que é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para .

Resposta

(a) Não, os vetores não formam uma base para .
(b) Sim, os vetores formam uma base para .

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