O conjunto dos vetores abaixo formam uma base para ? Justifique
(a) .
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos ver se os conjuntos de vetores dados formam uma base para . Uma base precisa que os vetores sejam linearmente independentes e que possuam exatamente três vetores (já que estamos falando de ). Para verificar a independência linear, vamos montar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e, portanto, formam uma base.

Passo 2

Parte (a):

Vamos montar a matriz com esses vetores como colunas:

Calculando o Determinante

O determinante de uma matriz pode ser calculado assim:
Aplicando isso à nossa matriz:
Simplificando:
Como o determinante é 0, os vetores não são linearmente independentes e, portanto, não formam uma base para .

Passo 3

Parte (b):

Vamos montar a matriz com esses vetores como colunas:

Calculando o Determinante

Usando a mesma fórmula:
Simplificando:
Como o determinante é 1, que é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para .

Resposta

(a) Não, os vetores não formam uma base para .
(b) Sim, os vetores formam uma base para .

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Uma refinaria processa dois tipos de petróleo: com alto teor de enxofre e com baixo teor de enxofre. Cada tonelada de petróleo com baixo teor exige 5 minutos na unidade de mistura e 4 minutos na refinação. Cada tonelada de alto teor exige 4 minutos de mistura e 2 minutos de refinação. Se a unidade de mistura está disponível durante 3 horas e a refinaria durante 2 horas, quantas toneladas de cada tipo de petróleo deveriam ser processados para que as duas unidades sejam completamente utilizadas?
Escreva os sistemas abaixo na forma matricial, isto é, .
Exiba uma base para cada um dos subespaços de listados a seguir:
(a) .
(b) e .
© .