O conjunto dos vetores abaixo formam uma base para ? Justifique
(a) .
(b) .
Passo 1
Beleza, vamos ver se os conjuntos de vetores dados formam uma base para . Uma base precisa que os vetores sejam linearmente independentes e que possuam exatamente três vetores (já que estamos falando de ). Para verificar a independência linear, vamos montar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e, portanto, formam uma base.
Passo 2
Parte (a):
Vamos montar a matriz com esses vetores como colunas:
Calculando o Determinante
O determinante de uma matriz pode ser calculado assim:
Aplicando isso à nossa matriz:
Simplificando:
Como o determinante é 0, os vetores não são linearmente independentes e, portanto, não formam uma base para .
Passo 3
Parte (b):
Vamos montar a matriz com esses vetores como colunas:
Calculando o Determinante
Usando a mesma fórmula:
Simplificando:
Como o determinante é 1, que é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para .