Uma refinaria processa dois tipos de petróleo: com alto teor de enxofre e com baixo teor de enxofre. Cada tonelada de petróleo com baixo teor exige 5 minutos na unidade de mistura e 4 minutos na refinação. Cada tonelada de alto teor exige 4 minutos de mistura e 2 minutos de refinação. Se a unidade de mistura está disponível durante 3 horas e a refinaria durante 2 horas, quantas toneladas de cada tipo de petróleo deveriam ser processados para que as duas unidades sejam completamente utilizadas?
Passo 1
Então, a gente tem um problema envolvendo uma refinaria que processa dois tipos de petróleo: um com alto teor de enxofre e outro com baixo teor. A matéria aqui é sobre sistemas de equações lineares, que nos ajudam a encontrar quantas toneladas de cada tipo de petróleo devem ser processadas para usar todo o tempo disponível nas unidades de mistura e refinação. Vamos precisar montar equações baseadas nos tempos de processamento de cada tipo e no tempo total disponível.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
- Seja
o número de toneladas de petróleo com baixo teor de enxofre. - Seja
o número de toneladas de petróleo com alto teor de enxofre.
Passo 3
Agora, vamos analisar os tempos de processamento:
Unidade de Mistura:
- Cada tonelada de baixo teor leva 5 minutos.
- Cada tonelada de alto teor leva 4 minutos.
- Tempo total disponível: 3 horas = 180 minutos.
Então, a equação para a mistura fica:
Passo 4
Unidade de Refinação:
- Cada tonelada de baixo teor leva 4 minutos.
- Cada tonelada de alto teor leva 2 minutos.
- Tempo total disponível: 2 horas = 120 minutos.
A equação para a refinação fica:
Passo 5
Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, simplificamos a segunda equação dividindo todos os termos por 2:
Então, podemos expressar
em termos de
:
Passo 6
Substituímos
na primeira equação:
Passo 7
Agora que encontramos
, substituímos de volta para encontrar
:
Resposta
A refinaria deve processar 20 toneladas de petróleo com baixo teor de enxofre e 20 toneladas de petróleo com alto teor de enxofre para aproveitar totalmente o tempo disponível nas unidades de mistura e refinação.
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Dados os subespaços de
:
encontre o subespaço
. É verdade que
? Justifique.
O conjunto dos vetores abaixo formam uma base para
? Justifique
(a) .
(b) .
(a)
(b)
Escreva os sistemas abaixo na forma matricial, isto é,
.