Uma refinaria processa dois tipos de petróleo: com alto teor de enxofre e com baixo teor de enxofre. Cada tonelada de petróleo com baixo teor exige 5 minutos na unidade de mistura e 4 minutos na refinação. Cada tonelada de alto teor exige 4 minutos de mistura e 2 minutos de refinação. Se a unidade de mistura está disponível durante 3 horas e a refinaria durante 2 horas, quantas toneladas de cada tipo de petróleo deveriam ser processados para que as duas unidades sejam completamente utilizadas?

Passo 1

Então, a gente tem um problema envolvendo uma refinaria que processa dois tipos de petróleo: um com alto teor de enxofre e outro com baixo teor. A matéria aqui é sobre sistemas de equações lineares, que nos ajudam a encontrar quantas toneladas de cada tipo de petróleo devem ser processadas para usar todo o tempo disponível nas unidades de mistura e refinação. Vamos precisar montar equações baseadas nos tempos de processamento de cada tipo e no tempo total disponível.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • Seja o número de toneladas de petróleo com baixo teor de enxofre.
  • Seja o número de toneladas de petróleo com alto teor de enxofre.

Passo 3

Agora, vamos analisar os tempos de processamento:
Unidade de Mistura:
  • Cada tonelada de baixo teor leva 5 minutos.
  • Cada tonelada de alto teor leva 4 minutos.
  • Tempo total disponível: 3 horas = 180 minutos.
Então, a equação para a mistura fica:

Passo 4

Unidade de Refinação:
  • Cada tonelada de baixo teor leva 4 minutos.
  • Cada tonelada de alto teor leva 2 minutos.
  • Tempo total disponível: 2 horas = 120 minutos.
A equação para a refinação fica:

Passo 5

Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, simplificamos a segunda equação dividindo todos os termos por 2:
Então, podemos expressar em termos de :

Passo 6

Substituímos na primeira equação:

Passo 7

Agora que encontramos , substituímos de volta para encontrar :

Resposta

A refinaria deve processar 20 toneladas de petróleo com baixo teor de enxofre e 20 toneladas de petróleo com alto teor de enxofre para aproveitar totalmente o tempo disponível nas unidades de mistura e refinação.

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Dados os subespaços de :
encontre o subespaço . É verdade que ? Justifique.
O conjunto dos vetores abaixo formam uma base para ? Justifique
(a) .
(b) .
Escreva os sistemas abaixo na forma matricial, isto é, .