Quando um conjunto de vetores é LD ou LI?

Passo 1

Então, a gente vai falar sobre quando um conjunto de vetores é Linearmente Dependente (LD) ou Linearmente Independente (LI). Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa esses termos e como podemos verificar se um conjunto de vetores se encaixa em cada categoria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são vetores linearmente independentes e dependentes. Imagine que você tem alguns vetores no espaço. Esses vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros. Ou seja, não tem como pegar alguns vetores e multiplicar por constantes e somar para obter outro vetor do conjunto.
Por outro lado, os vetores são linearmente dependentes se pelo menos um vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Isso significa que existe uma relação onde você multiplica alguns vetores por números e soma para conseguir outro vetor do conjunto.

Passo 3

Agora, vamos ver como a gente pode verificar isso na prática. Uma forma comum de testar se um conjunto de vetores é LI ou LD é montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante dessa matriz.
  • Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
  • Se o determinante for igual a zero, os vetores são linearmente dependentes.
Essa é uma abordagem prática quando temos um número de vetores igual à dimensão do espaço.

Passo 4

Outra maneira de verificar é ver se alguma das colunas da matriz pode ser escrita como uma combinação das outras. Por exemplo, se você tem três vetores no espaço tridimensional, coloca eles em uma matriz:
Se uma das colunas puder ser escrita como , então os vetores são linearmente dependentes.

Passo 5

Também podemos usar o posto da matriz. O posto é o número máximo de colunas que são linearmente independentes. Se o posto for igual ao número de vetores, então eles são LI. Se for menor, são LD.

Resposta

Um conjunto de vetores é linearmente independente (LI) quando nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros, ou seja, não existe uma relação dos tipos onde os coeficientes não são todos zero. Se tal relação existir com pelo menos um coeficiente diferente de zero, os vetores são linearmente dependentes (LD). Para verificar isso, pode-se montar uma matriz com os vetores como colunas e calcular o determinante ou o posto da matriz: se o determinante for diferente de zero ou o posto igual ao número de vetores, eles são LI; caso contrário, são LD.

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