Sejam e . Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando-a.
f) O conjunto é LI.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem cinco vetores no espaço tridimensional e precisa descobrir se o conjunto formado pelos vetores e é linearmente independente (LI). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e a definição de independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se a equação
tem apenas a solução e , então os vetores são LI.

Passo 3

Vamos escrever as componentes dos vetores:
Agora, montamos o sistema de equações a partir da combinação linear igual a zero:
Isso resulta em:

Passo 4

Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação, temos .
Substituindo na primeira equação:
Substituindo e na terceira equação:
(confirmando que a solução é válida)

Resposta

Como a única solução é e , o conjunto é linearmente independente.

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Problema 1.22 Seja o triângulo retângulo cujos vértices são os pontos e . Mostre que o ponto médio da hipotenusa é equidistante de cada um dos três vértices.
Sejam os vetores e
e) Escreva o vetor como combinação linear de e .
Quando um conjunto de vetores é LD ou LI?
( 1,0 ponto) Determine os vetores tais que , o ângulo entre e é 120 graus e é or a .