Sejam v1=(0,0,0), v2=(-1,0,2), v3=(-1,1,2), v4=(0,1,0) e v5=(1,1,1). Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando-a.
f) O conjunto v2, v5 é LI.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem cinco vetores no espaço tridimensional e precisa descobrir se o conjunto formado pelos vetores v2 e v5 é linearmente independente (LI). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e a definição de independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se a equação
av2 + bv5 = 0
tem apenas a solução a = 0 e b = 0, então os vetores são LI.

Passo 3

Vamos escrever as componentes dos vetores:
v2 = (-1, 0, 2) v5 = (1, 1, 1)
Agora, montamos o sistema de equações a partir da combinação linear igual a zero:
a(-1) + b(1) = 0 a(0) + b(1) = 0 a(2) + b(1) = 0
Isso resulta em:
  1. -a + b = 0
  2. 0a + b = 0
  3. 2a + b = 0

Passo 4

Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação, temos b = 0.
Substituindo b = 0 na primeira equação:
-a + 0 = 0 a = 0
Substituindo a = 0 e b = 0 na terceira equação:
2(0) + 0 = 0 0 = 0 (confirmando que a solução é válida)

Resposta

Como a única solução é a = 0 e b = 0, o conjunto v2, v5 é linearmente independente.

Exercícios relacionados