Sejam
e
. Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando-a.
f) O conjunto
é LI.
f) O conjunto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem cinco vetores no espaço tridimensional e precisa descobrir se o conjunto formado pelos vetores
e
é linearmente independente (LI). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e a definição de independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se a equação
tem apenas a solução
e
, então os vetores são LI.
Passo 3
Vamos escrever as componentes dos vetores:
Agora, montamos o sistema de equações a partir da combinação linear igual a zero:
Isso resulta em:
Passo 4
Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação, temos
.
Substituindo
na primeira equação:
Substituindo
e
na terceira equação:
Resposta
Como a única solução é
e
, o conjunto
é linearmente independente.
Exercícios relacionados
Problema 1.22 Seja o triângulo retângulo cujos vértices são os pontos
e
. Mostre que o ponto médio da hipotenusa é equidistante de cada um dos três vértices.
Sejam os vetores
e
e) Escreva o vetor como combinação linear de
e
.
e) Escreva o vetor
Quando um conjunto de vetores é LD ou LI?
( 1,0 ponto) Determine os vetores
tais que
, o ângulo entre
e
é 120 graus e
é or a
.