( 1,0 ponto) Determine os vetores
tais que
, o ângulo entre
e
é 120 graus e
é or a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar vetores
que atendam a três condições:
- O módulo de
é 3, ou seja, . - O ângulo entre
e o vetor é de 120 graus. - O vetor
é paralelo a .
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria vetorial, especificamente sobre magnitude de vetores, ângulos entre vetores e vetores paralelos.
Passo 2
Primeiro, como
é paralelo a
, isso significa que
pode ser escrito como um múltiplo escalar desse vetor. Vamos chamar esse múltiplo de
. Então:
Passo 3
Agora, sabemos que o módulo de
é 3. Vamos calcular o módulo de
em termos de
:
Como
, temos:
Passo 4
Agora, vamos considerar o ângulo de 120 graus entre
e
. O cosseno do ângulo entre dois vetores é dado pela fórmula:
Onde
e
. Vamos calcular o produto interno
.
Substituindo
:
Agora, calculamos
:
Então, a equação fica:
Passo 5
Comparando com o valor de
obtido anteriormente, temos duas possibilidades:
Mas do passo anterior encontramos que
. Para que ambas as condições sejam satisfeitas, devemos ter:
Isso não é possível, o que indica que não existe um vetor
que satisfaça todas as três condições simultaneamente.
Resposta
Não existe nenhum vetor
que satisfaça todas as condições apresentadas.