( 1,0 ponto) Determine os vetores w tais que |w|=3, o ângulo entre w e (0,2,1) é 120 graus e w é or a (0,-1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar vetores w que atendam a três condições:
  1. O módulo de w é 3, ou seja, |w| = 3.
  2. O ângulo entre w e o vetor (0,2,1) é de 120 graus.
  3. O vetor w é paralelo a (0,-1,1).
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria vetorial, especificamente sobre magnitude de vetores, ângulos entre vetores e vetores paralelos.

Passo 2

Primeiro, como w é paralelo a (0,-1,1), isso significa que w pode ser escrito como um múltiplo escalar desse vetor. Vamos chamar esse múltiplo de k. Então:
w = k cdot (0, -1, 1)

Passo 3

Agora, sabemos que o módulo de w é 3. Vamos calcular o módulo de w em termos de k:
|w| = raiz0^2 + (-k)^2 + k^2 = raiz0 + k^2 + k^2 = raiz2k^2 = |k| raiz2
Como |w| = 3, temos:
|k| raiz2 = 3 |k| = 3raiz2 k = pm 3raiz2

Passo 4

Agora, vamos considerar o ângulo de 120 graus entre w e (0,2,1). O cosseno do ângulo entre dois vetores é dado pela fórmula:
cos(theta) = w cdot v|w| cdot |v|
Onde v = (0,2,1) e theta = 120^circ. Vamos calcular o produto interno w cdot v.
Substituindo w = k(0,-1,1):
w cdot v = (k cdot 0) + (k cdot -1 cdot 2) + (k cdot 1 cdot 1) = 0 - 2k + k = -k
Agora, calculamos |v|:
|v| = raiz0^2 + 2^2 + 1^2 = raiz0 + 4 + 1 = raiz5
Então, a equação fica:
cos(120^circ) = -k3 cdot raiz5 cos(120^circ) = -12 -12 = -k3 raiz5 12 = k3 raiz5 k = 3 raiz52

Passo 5

Comparando com o valor de k obtido anteriormente, temos duas possibilidades:
  1. k = 3raiz2
  2. k = -3raiz2
Mas do passo anterior encontramos que k = 3 raiz52. Para que ambas as condições sejam satisfeitas, devemos ter:
3 raiz52 = 3raiz2 raiz5 = 2raiz2 raiz5 = raiz2
Isso não é possível, o que indica que não existe um vetor w que satisfaça todas as três condições simultaneamente.

Resposta

Não existe nenhum vetor w que satisfaça todas as condições apresentadas.

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