( 1,0 ponto) Determine os vetores tais que , o ângulo entre e é 120 graus e é or a .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar vetores que atendam a três condições:
O módulo de é 3, ou seja, .
O ângulo entre e o vetor é de 120 graus.
O vetor é paralelo a .
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria vetorial, especificamente sobre magnitude de vetores, ângulos entre vetores e vetores paralelos.
Passo 2
Primeiro, como é paralelo a , isso significa que pode ser escrito como um múltiplo escalar desse vetor. Vamos chamar esse múltiplo de . Então:
Passo 3
Agora, sabemos que o módulo de é 3. Vamos calcular o módulo de em termos de :
Como , temos:
Passo 4
Agora, vamos considerar o ângulo de 120 graus entre e . O cosseno do ângulo entre dois vetores é dado pela fórmula:
Onde e . Vamos calcular o produto interno .
Substituindo :
Agora, calculamos :
Então, a equação fica:
Passo 5
Comparando com o valor de obtido anteriormente, temos duas possibilidades:
Mas do passo anterior encontramos que . Para que ambas as condições sejam satisfeitas, devemos ter:
Isso não é possível, o que indica que não existe um vetor que satisfaça todas as três condições simultaneamente.
Resposta
Não existe nenhum vetor que satisfaça todas as condições apresentadas.