( 1,0 ponto) Determine os vetores tais que , o ângulo entre e é 120 graus e é or a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar vetores que atendam a três condições:
  1. O módulo de é 3, ou seja, .
  2. O ângulo entre e o vetor é de 120 graus.
  3. O vetor é paralelo a .
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria vetorial, especificamente sobre magnitude de vetores, ângulos entre vetores e vetores paralelos.

Passo 2

Primeiro, como é paralelo a , isso significa que pode ser escrito como um múltiplo escalar desse vetor. Vamos chamar esse múltiplo de . Então:

Passo 3

Agora, sabemos que o módulo de é 3. Vamos calcular o módulo de em termos de :
Como , temos:

Passo 4

Agora, vamos considerar o ângulo de 120 graus entre e . O cosseno do ângulo entre dois vetores é dado pela fórmula:
Onde e . Vamos calcular o produto interno .
Substituindo :
Agora, calculamos :
Então, a equação fica:

Passo 5

Comparando com o valor de obtido anteriormente, temos duas possibilidades:
Mas do passo anterior encontramos que . Para que ambas as condições sejam satisfeitas, devemos ter:
Isso não é possível, o que indica que não existe um vetor que satisfaça todas as três condições simultaneamente.

Resposta

Não existe nenhum vetor que satisfaça todas as condições apresentadas.

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Quando um conjunto de vetores é LD ou LI?
Sejam e . Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando-a.
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Seja uma base ortonormal. Calcule nos seguintes casos.
(a) .
(b) .
Escreva, se possível, como combinação linear de e :
e ;