O conjunto dos vetores de
cujas coordenadas formam uma progressão aritmética é um subespaço de
?
Passo 1
Então, vamos lá! A pergunta é: O conjunto dos vetores de
cujas coordenadas formam uma progressão aritmética é um subespaço de
? Para responder isso, vamos precisar entender o que é uma progressão aritmética e o que define um subespaço vetorial. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, uma progressão aritmética é uma sequência de números onde a diferença entre um número e o anterior é constante. Por exemplo, em
, um vetor
forma uma progressão aritmética se
. Isso significa que existe uma diferença comum
tal que
e
.
Passo 3
Agora, sobre subespaços vetoriais: um subconjunto
de um espaço vetorial
é chamado de subespaço se ele satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero:
. - É fechado sob adição: Se
, então . - É fechado sob multiplicação por escalar: Se
e é um escalar, então .
Passo 4
Vamos verificar se o conjunto dos vetores com coordenadas em progressão aritmética satisfaz essas três condições.
-
Contém o vetor zero: O vetor zero em
é . Verificamos se isso forma uma progressão aritmética. Sim, porque a diferença entre termos consecutivos é , que é constante. Então, o vetor zero está no conjunto. -
Fechado sob adição: Vamos pegar dois vetores que são progressões aritméticas, por exemplo,
e . Somando eles: . Vemos que a soma também é uma progressão aritmética com diferença . Então, está fechado sob adição. -
Fechado sob multiplicação por escalar: Pegando um vetor em progressão aritmética
e multiplicando por um escalar : . Isso também é uma progressão aritmética com diferença . Então, está fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o conjunto dos vetores de
cujas coordenadas formam uma progressão aritmética é um subespaço de
.