O conjunto dos vetores de cujas coordenadas formam uma progressão aritmética é um subespaço de ?

Passo 1

Então, vamos lá! A pergunta é: O conjunto dos vetores de cujas coordenadas formam uma progressão aritmética é um subespaço de ? Para responder isso, vamos precisar entender o que é uma progressão aritmética e o que define um subespaço vetorial. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, uma progressão aritmética é uma sequência de números onde a diferença entre um número e o anterior é constante. Por exemplo, em , um vetor forma uma progressão aritmética se . Isso significa que existe uma diferença comum tal que e .

Passo 3

Agora, sobre subespaços vetoriais: um subconjunto de um espaço vetorial é chamado de subespaço se ele satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: .
  2. É fechado sob adição: Se , então .
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: Se e é um escalar, então .

Passo 4

Vamos verificar se o conjunto dos vetores com coordenadas em progressão aritmética satisfaz essas três condições.
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero em é . Verificamos se isso forma uma progressão aritmética. Sim, porque a diferença entre termos consecutivos é , que é constante. Então, o vetor zero está no conjunto.
  2. Fechado sob adição: Vamos pegar dois vetores que são progressões aritméticas, por exemplo, e . Somando eles: . Vemos que a soma também é uma progressão aritmética com diferença . Então, está fechado sob adição.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Pegando um vetor em progressão aritmética e multiplicando por um escalar : . Isso também é uma progressão aritmética com diferença . Então, está fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o conjunto dos vetores de cujas coordenadas formam uma progressão aritmética é um subespaço de .

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Seja a transformação linear definida por
Determine a matriz de em relação às bases ordenadas de e canônica de .
Verificar quais dos conjuntos de vetores abaixo são subespaço vetoriais.
(e)
Considere
Se possivel, encontre matrizes invertivel e diagonal tais que (naao calcule o) produto).
Reduza cada uma das equações seguintes à forma canônica e identifique e esboce a quádrica que ela representa: