O conjunto dos vetores de cujas coordenadas formam uma progressão aritmética é um subespaço de ?
Passo 1
Então, vamos lá! A pergunta é: O conjunto dos vetores de cujas coordenadas formam uma progressão aritmética é um subespaço de ? Para responder isso, vamos precisar entender o que é uma progressão aritmética e o que define um subespaço vetorial. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, uma progressão aritmética é uma sequência de números onde a diferença entre um número e o anterior é constante. Por exemplo, em , um vetor forma uma progressão aritmética se . Isso significa que existe uma diferença comum tal que e .
Passo 3
Agora, sobre subespaços vetoriais: um subconjunto de um espaço vetorial é chamado de subespaço se ele satisfaz três condições:
Contém o vetor zero: .
É fechado sob adição: Se , então .
É fechado sob multiplicação por escalar: Se e é um escalar, então .
Passo 4
Vamos verificar se o conjunto dos vetores com coordenadas em progressão aritmética satisfaz essas três condições.
Contém o vetor zero: O vetor zero em é . Verificamos se isso forma uma progressão aritmética. Sim, porque a diferença entre termos consecutivos é , que é constante. Então, o vetor zero está no conjunto.
Fechado sob adição: Vamos pegar dois vetores que são progressões aritméticas, por exemplo, e . Somando eles: . Vemos que a soma também é uma progressão aritmética com diferença . Então, está fechado sob adição.
Fechado sob multiplicação por escalar: Pegando um vetor em progressão aritmética e multiplicando por um escalar : . Isso também é uma progressão aritmética com diferença . Então, está fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o conjunto dos vetores de cujas coordenadas formam uma progressão aritmética é um subespaço de .