O conjunto dos vetores de R^n cujas coordenadas formam uma progressão aritmética é um subespaço de R^n ?

Passo 1

Então, vamos lá! A pergunta é: O conjunto dos vetores de R^n cujas coordenadas formam uma progressão aritmética é um subespaço de R^n? Para responder isso, vamos precisar entender o que é uma progressão aritmética e o que define um subespaço vetorial. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, uma progressão aritmética é uma sequência de números onde a diferença entre um número e o anterior é constante. Por exemplo, em R^3, um vetor (a, b, c) forma uma progressão aritmética se b - a = c - b. Isso significa que existe uma diferença comum d tal que b = a + d e c = b + d = a + 2d.

Passo 3

Agora, sobre subespaços vetoriais: um subconjunto W de um espaço vetorial V é chamado de subespaço se ele satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: (0, 0, ldots, 0) in W.
  2. É fechado sob adição: Se u, v in W, então u + v in W.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: Se u in W e c é um escalar, então c cdot u in W.

Passo 4

Vamos verificar se o conjunto dos vetores com coordenadas em progressão aritmética satisfaz essas três condições.
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero em R^n é (0, 0, ldots, 0). Verificamos se isso forma uma progressão aritmética. Sim, porque a diferença entre termos consecutivos é 0, que é constante. Então, o vetor zero está no conjunto.
  2. Fechado sob adição: Vamos pegar dois vetores que são progressões aritméticas, por exemplo, u = (a, a+d, a+2d) e v = (b, b+e, b+2e). Somando eles: u + v = (a+b, a+d+b+e, a+2d+b+2e) = (a+b, (a+b)+(d+e), (a+b)+2(d+e)). Vemos que a soma também é uma progressão aritmética com diferença d+e. Então, está fechado sob adição.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Pegando um vetor em progressão aritmética u = (a, a+d, a+2d) e multiplicando por um escalar c: c cdot u = (c cdot a, c cdot (a+d), c cdot (a+2d)) = (c a, c a + c d, c a + 2c d). Isso também é uma progressão aritmética com diferença c d. Então, está fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o conjunto dos vetores de R^n cujas coordenadas formam uma progressão aritmética é um subespaço de R^n.

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