Seja
a transformação linear definida por
Determine a matriz de
em relação às bases ordenadas
de
e
canônica de
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos uma transformação linear
definida por
. A tarefa é encontrar a matriz dessa transformação quando usamos as bases ordenadas
para
e
para
. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar uma transformação linear em relação a bases diferentes das canônicas e como construir a matriz dessa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz onde cada coluna dessa matriz é a imagem dos vetores da base de entrada expressa na base de saída. No nosso caso, precisamos encontrar
,
e
, onde
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular
. Substituindo
na transformação:
Passo 4
Agora, calculamos
. Substituindo
:
Passo 5
Em seguida, calculamos
. Substituindo
:
Passo 6
Agora que temos as imagens dos vetores da base
, precisamos expressá-las na base
, que no caso é a base canônica de
. Como
é canônica, as coordenadas já estão ajustadas. Portanto, as imagens já estão na forma correta:
Passo 7
Agora, organizamos essas imagens como colunas na matriz de
em relação às bases
e
:
Resposta
A matriz da transformação
em relação às bases
de
e
de
é