Seja T: R^3 R^2 a transformação linear definida por
T(x, y, z)=(z, x+y)
Determine a matriz de T em relação às bases ordenadas B=(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0) de R^3 e C=(1,0),(0,1) canônica de R^2.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos uma transformação linear definida por . A tarefa é encontrar a matriz dessa transformação quando usamos as bases ordenadas para e para . Para resolver isso, vamos precisar entender como representar uma transformação linear em relação a bases diferentes das canônicas e como construir a matriz dessa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz onde cada coluna dessa matriz é a imagem dos vetores da base de entrada expressa na base de saída. No nosso caso, precisamos encontrar , e , onde , e .

Passo 3

Vamos calcular T(1,1,1) = (z, x + y) = (1, 1 + 1) = (1, 2) . Substituindo na transformação:

Passo 4

Agora, calculamos T(1,1,0) = (0, 1 + 1) = (0, 2) . Substituindo :

Passo 5

Em seguida, calculamos T(1,0,0) = (0, 1 + 0) = (0, 1) . Substituindo :

Passo 6

Agora que temos as imagens dos vetores da base T(b1) = 1 2 , T(b2) = 0 2 , T(b3) = 0 1 , precisamos expressá-las na base , que no caso é a base canônica de . Como é canônica, as coordenadas já estão ajustadas. Portanto, as imagens já estão na forma correta:

Passo 7

Agora, organizamos essas imagens como colunas na matriz de [MT]B^C = 1 & 0 & 0 2 & 2 & 1 em relação às bases e :

Resposta

A matriz da transformação 1 & 0 & 0 2 & 2 & 1 em relação às bases de e de é

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