Seja a transformação linear definida por Determine a matriz de em relação às bases ordenadas de e canônica de .

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos uma transformação linear definida por . A tarefa é encontrar a matriz dessa transformação quando usamos as bases ordenadas para e para . Para resolver isso, vamos precisar entender como representar uma transformação linear em relação a bases diferentes das canônicas e como construir a matriz dessa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz onde cada coluna dessa matriz é a imagem dos vetores da base de entrada expressa na base de saída. No nosso caso, precisamos encontrar , e , onde , e .

Passo 3

Vamos calcular . Substituindo na transformação:

Passo 4

Agora, calculamos . Substituindo :

Passo 5

Em seguida, calculamos . Substituindo :

Passo 6

Agora que temos as imagens dos vetores da base , precisamos expressá-las na base , que no caso é a base canônica de . Como é canônica, as coordenadas já estão ajustadas. Portanto, as imagens já estão na forma correta:

Passo 7

Agora, organizamos essas imagens como colunas na matriz de em relação às bases e :

Resposta

A matriz da transformação em relação às bases de e de é

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