Seja a transformação linear definida por
Determine a matriz de em relação às bases ordenadas de e canônica de .
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos uma transformação linear definida por . A tarefa é encontrar a matriz dessa transformação quando usamos as bases ordenadas para e para . Para resolver isso, vamos precisar entender como representar uma transformação linear em relação a bases diferentes das canônicas e como construir a matriz dessa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz onde cada coluna dessa matriz é a imagem dos vetores da base de entrada expressa na base de saída. No nosso caso, precisamos encontrar , e , onde , e .
Passo 3
Vamos calcular . Substituindo na transformação:
Passo 4
Agora, calculamos . Substituindo :
Passo 5
Em seguida, calculamos . Substituindo :
Passo 6
Agora que temos as imagens dos vetores da base , precisamos expressá-las na base , que no caso é a base canônica de . Como é canônica, as coordenadas já estão ajustadas. Portanto, as imagens já estão na forma correta:
Passo 7
Agora, organizamos essas imagens como colunas na matriz de em relação às bases e :
Resposta
A matriz da transformação em relação às bases de e de é