Verificar quais dos conjuntos de vetores abaixo são subespaço vetoriais.
(e)
(e)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Queremos verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial. Para isso, precisamos lembrar dos critérios que definem um subespaço vetorial e usá-los para analisar o conjunto
.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar quais são os critérios para um conjunto ser um subespaço vetorial. Um conjunto
em
é um subespaço vetorial se e somente se:
- O vetor zero está em
: O vetor deve pertencer a . - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um número real, então também deve estar em .
Vamos verificar cada um desses critérios para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificar se o vetor zero está em
:
O vetor zero é
. Vamos substituir na condição de
:
Então, o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Verificar se
é fechado sob adição:
Vamos considerar dois vetores quaisquer em
:
onde
e
.
Somando esses vetores:
A soma das componentes é:
Como
e
, a soma também será:
Portanto,
está em
.
Passo 5
3. Verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em
:
E multiplicar por um escalar
.
A nova condição será:
Agora, aqui temos um problema. Se
for positivo, a desigualdade se mantém:
Mas se
for negativo, a desigualdade se inverte:
Isso significa que, se escolhermos
, por exemplo, teríamos:
Então,
não necessariamente pertence a
, a menos que
.
Resposta
Como
não satisfaz o critério de ser fechado sob multiplicação por escalar (nem todo múltiplo de um vetor em
pertence a
), concluímos que o conjunto
não é um subespaço vetorial.
Exercícios relacionados
Seja
uma transformaçāo linear dada por
. Encontre uma base e a dimensão do núcleo de
.
Decida se as seguintes afirmaçōes sāo VERDADEIRAS ou EALSAS. Ein cada caso, prove ou dê um contraexemplo. Se
é uma transformaçāo linear sobrejetora e dim
, entāo
.
Seja
a transformação linear definida por
Determine a matriz de
em relação às bases ordenadas
de
e
canônica de
.
O conjunto dos vetores de
cujas coordenadas formam uma progressão aritmética é um subespaço de
?