Verificar quais dos conjuntos de vetores abaixo são subespaço vetoriais.
(e) R=(x, y, z) in R^3 ; x+y+z >= 0

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Queremos verificar se o conjunto é um subespaço vetorial. Para isso, precisamos lembrar dos critérios que definem um subespaço vetorial e usá-los para analisar o conjunto .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar quais são os critérios para um conjunto ser um subespaço vetorial. Um conjunto em é um subespaço vetorial se e somente se:
  1. O vetor zero está em : O vetor deve pertencer a .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um número real, então também deve estar em .
Vamos verificar cada um desses critérios para o conjunto .

Passo 3

1. Verificar se o vetor zero está em 0 + 0 + 0 = 0 >= 0 :
O vetor zero é . Vamos substituir na condição de :
Então, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Verificar se u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) é fechado sob adição:
Vamos considerar dois vetores quaisquer em u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) :
(x1 + x2) + (y1 + y2) + (z1 + z2) = (x1 + y1 + z1) + (x2 + y2 + z2)
onde (x1 + y1 + z1) + (x2 + y2 + z2) >= 0 e .
Somando esses vetores:
A soma das componentes é:
Como e , a soma também será:
Portanto, está em .

Passo 5

3. Verificar se u = (x, y, z) com x + y + z >= 0 é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em c(x + y + z) >= 0 :
c(x + y + z) >= 0
E multiplicar por um escalar c(x + y + z) <= 0 .
A nova condição será:
-1(x + y + z) <= 0
Agora, aqui temos um problema. Se for positivo, a desigualdade se mantém:
Mas se for negativo, a desigualdade se inverte:
Isso significa que, se escolhermos , por exemplo, teríamos:
Então, não necessariamente pertence a , a menos que .

Resposta

Como não satisfaz o critério de ser fechado sob multiplicação por escalar (nem todo múltiplo de um vetor em pertence a ), concluímos que o conjunto não é um subespaço vetorial.

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