Se possivel, encontre matrizes M invertivel e D diagonal tais que M^-1 A M=D (naao calcule o) produto).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma matriz e queremos encontrar duas matrizes: uma invertível e uma diagonal , de modo que . Isso é basicamente sobre diagonalização de matrizes, que é um processo onde transformamos uma matriz em uma forma mais simples usando certas propriedades dela. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz , porque eles são essenciais para construir as matrizes e .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são os valores de A - lambda I = 1 - lambda & 1 & 2 0 & 1 - lambda & 0 0 & 1 & 3 - lambda que satisfazem a equação:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, ou . Então, escolhendo , temos .
Portanto, os autovetores para são da forma:
Passo 5
Agora, vamos construir a matriz v1 = 1 0 0 , v2 = 0 -2 1 , v3 = 1 0 1 usando os autovetores que encontramos. Como M = 1 & 0 & 1 0 & -2 & 0 0 & 1 & 1 tem multiplicidade 2, precisamos de dois autovetores linearmente independentes para ele.
Escolhemos:
Então, a matriz fica:
Passo 6
A matriz D = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3 é uma matriz diagonal cujas entradas são os autovalores correspondentes aos autovetores de . Portanto, alinhando os autovalores com os autovetores nas colunas de , temos:
Resposta
Encontramos que a matriz M = 1 & 0 & 1 0 & -2 & 0 0 & 1 & 1 , D = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3 invertível e a matriz diagonal são: