Se possivel, encontre matrizes invertivel e diagonal tais que (naao calcule o) produto).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma matriz e queremos encontrar duas matrizes: uma invertível e uma diagonal , de modo que . Isso é basicamente sobre diagonalização de matrizes, que é um processo onde transformamos uma matriz em uma forma mais simples usando certas propriedades dela. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz , porque eles são essenciais para construir as matrizes e .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação:
Aqui, é a matriz identidade da mesma ordem que . Vamos calcular isso:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando isso, obtemos um polinômio característico que vamos resolver para encontrar os valores de .
Passo 3
Resolvendo o determinante, chegamos ao polinômio característico:
Então, temos:
Isso nos dá os autovalores:
Passo 4
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada .
Para :
Resolvemos :
[
]
Isso nos dá as equações:
Podemos escolher , então . E é livre, digamos .
Então, os autovetores para são da forma:
Para :
Resolvemos :
[
]
Isso nos dá as equações:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, ou . Então, escolhendo , temos .
Portanto, os autovetores para são da forma:
Passo 5
Agora, vamos construir a matriz usando os autovetores que encontramos. Como tem multiplicidade 2, precisamos de dois autovetores linearmente independentes para ele.
Escolhemos:
Então, a matriz fica:
Passo 6
A matriz é uma matriz diagonal cujas entradas são os autovalores correspondentes aos autovetores de . Portanto, alinhando os autovalores com os autovetores nas colunas de , temos:
Resposta
Encontramos que a matriz invertível e a matriz diagonal são: