Considere
A=(lll 1 & 1 & 2 0 & 1 & 0 0 & 1 & 3 )
Se possivel, encontre matrizes M invertivel e D diagonal tais que M^-1 A M=D (naao calcule o) produto).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma matriz e queremos encontrar duas matrizes: uma invertível e uma diagonal , de modo que . Isso é basicamente sobre diagonalização de matrizes, que é um processo onde transformamos uma matriz em uma forma mais simples usando certas propriedades dela. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz , porque eles são essenciais para construir as matrizes e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são os valores de A - lambda I = 1 - lambda & 1 & 2 0 & 1 - lambda & 0 0 & 1 & 3 - lambda que satisfazem a equação:
det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot det 1 - lambda & 0 1 & 3 - lambda - 1 cdot det 0 & 0 0 & 3 - lambda + 2 cdot det 0 & 1 - lambda 0 & 1
Aqui, é a matriz identidade da mesma ordem que . Vamos calcular isso:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando isso, obtemos um polinômio característico que vamos resolver para encontrar os valores de .

Passo 3

Resolvendo o determinante, chegamos ao polinômio característico:
(1 - lambda)[(1 - lambda)(3 - lambda) - 0 cdot 1] - 1 cdot 0 + 2 cdot 0 = (1 - lambda)(1 - lambda)(3 - lambda)
Então, temos:
(1 - lambda)^2 (3 - lambda) = 0
Isso nos dá os autovalores:
lambda1 = 1 (com mu

Passo 4

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 0 & 1 & 2 v1 v2 v3 = 0 0 0 .
Para v2 + 2v3 = 0 v2 + 2v3 = 0 :
Resolvemos v = s 1 0 0 + t 0 -2 1 :

[
-2 & 1 & 2 0 & -2 & 0 0 & 1 & 0 v1 v2 v3 = 0 0 0
-2v1 + v2 + 2v3 = 0 -2v2 = 0 v2 = 0

v = k 1 0 1
]
Isso nos dá as equações:
Podemos escolher , então . E é livre, digamos .
Então, os autovetores para são da forma:
Para :
Resolvemos :

[


]
Isso nos dá as equações:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, ou . Então, escolhendo , temos .
Portanto, os autovetores para são da forma:

Passo 5

Agora, vamos construir a matriz v1 = 1 0 0 , v2 = 0 -2 1 , v3 = 1 0 1 usando os autovetores que encontramos. Como M = 1 & 0 & 1 0 & -2 & 0 0 & 1 & 1 tem multiplicidade 2, precisamos de dois autovetores linearmente independentes para ele.
Escolhemos:
Então, a matriz fica:

Passo 6

A matriz D = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3 é uma matriz diagonal cujas entradas são os autovalores correspondentes aos autovetores de . Portanto, alinhando os autovalores com os autovetores nas colunas de , temos:

Resposta

Encontramos que a matriz M = 1 & 0 & 1 0 & -2 & 0 0 & 1 & 1 , D = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3 invertível e a matriz diagonal são:
Assim, .

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