Por que o conjunto
não é um subespaço vetorial de
?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto
e queremos saber por que esse conjunto não é um subespaço vetorial de
. Para resolver isso, precisamos lembrar dos requisitos para um subespaço vetorial:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar no conjunto. - Fechado na adição: Se
e estão no conjunto, então também deve estar. - Fechado na multiplicação por escalar: Se
está no conjunto e é um número real, então também deve estar.
Vamos verificar cada um desses requisitos para o conjunto
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na equação que define
:
Como
, o vetor zero não está em
. Isso já nos mostra que
não atende ao primeiro requisito para ser um subespaço vetorial.
Passo 3
Embora já tenhamos identificado que o vetor zero não está em
, vamos entender por que isso é importante. Um subespaço vetorial precisa sempre conter o vetor zero porque ele representa a “origem” do espaço vetorial. Sem ele, não conseguimos garantir certas propriedades fundamentais, como a existência de vetores opostos e a estrutura linear do espaço.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço vetorial de
porque não contém o vetor zero, já que nenhum vetor em
satisfaz a equação
quando
. Portanto,
não atende aos requisitos necessários para ser um subespaço vetorial.
Exercícios relacionados
Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
Mostre que
não é um subespaço vetorial do
.
Seja
e
vetores. Que condição precisa acontecer para que
seja uma combinação linear de
e
? (tente lembrar qual é a definição do conceito de combinação linear…)
Dado o vetor
, determine um vetor
colinear com
, de sentido contrário, e cujo comprimento seja o dobro de
. Faça um esboço.