Mostre que W=(x, y) in R^2:(x-1)(y-1)=1 não é um subespaço vetorial do R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o conjunto não é um subespaço vetorial de . Para resolver isso, precisamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Basicamente, um subespaço precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição (se você somar dois vetores do conjunto, o resultado também está no conjunto).
  3. É fechado sob multiplicação por escalar (se você multiplicar um vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado também está no conjunto).
Vamos verificar essas condições passo a passo para ver porque não é um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos checar se o vetor zero (0 - 1)(0 - 1) = (-1)(-1) = 1 está em . Substituindo e na equação de :
Então, está em . Parece que a primeira condição está satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos ver se u + v = (x1 + x2, y1 + y2) é fechado sob adição. Para isso, precisamos pegar dois vetores quaisquer em (x1 + x2 - 1)(y1 + y2 - 1) stackrel?= 1 e somá-los para ver se o resultado também pertence a .
Vamos escolher dois vetores em :
  • com
  • com
Somando-os:
Para verificar se está em , substituímos na equação:
Isso geralmente não será igual a 1, a menos que os vetores especiais sejam escolhidos, o que não garante para todos os vetores em . Portanto, não é fechado sob adição.

Passo 4

Mesmo que já tenhamos mostrado que (x - 1)(y - 1) = 1 não é um subespaço, vamos dar uma olhada na multiplicação por escalar para completar o entendimento.
Pegue um vetor cu = (c x, c y) em (c x - 1)(c y - 1) stackrel?= 1 , então:
Multiplicando por um escalar :
Substituindo na equação de :
Isso também não será igual a 1 para qualquer , a menos que e tenham valores específicos, o que não é o caso geral. Assim, não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Então, não satisfaz as condições necessárias para ser um subespaço vetorial de , pois não é fechado nem sob adição nem sob multiplicação por escalar. Portanto, não é um subespaço vetorial de .

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