Mostre que
não é um subespaço vetorial do
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o conjunto
não é um subespaço vetorial de
. Para resolver isso, precisamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Basicamente, um subespaço precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição (se você somar dois vetores do conjunto, o resultado também está no conjunto).
- É fechado sob multiplicação por escalar (se você multiplicar um vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado também está no conjunto).
Vamos verificar essas condições passo a passo para ver porque
não é um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos checar se o vetor zero
está em
. Substituindo
e
na equação de
:
Então,
está em
. Parece que a primeira condição está satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Para isso, precisamos pegar dois vetores quaisquer em
e somá-los para ver se o resultado também pertence a
.
Vamos escolher dois vetores em
:
-
com -
com
Somando-os:
Para verificar se
está em
, substituímos na equação:
Isso geralmente não será igual a 1, a menos que os vetores especiais sejam escolhidos, o que não garante para todos os vetores em
. Portanto,
não é fechado sob adição.
Passo 4
Mesmo que já tenhamos mostrado que
não é um subespaço, vamos dar uma olhada na multiplicação por escalar para completar o entendimento.
Pegue um vetor
em
, então:
Multiplicando
por um escalar
:
Substituindo na equação de
:
Isso também não será igual a 1 para qualquer
, a menos que
e
tenham valores específicos, o que não é o caso geral. Assim,
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Então,
não satisfaz as condições necessárias para ser um subespaço vetorial de
, pois não é fechado nem sob adição nem sob multiplicação por escalar. Portanto,
não é um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Seria
um subespaço vetorial do
? Por quê?
Mostre
é um subespaço vetorial do
.
Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
Por que o conjunto
não é um subespaço vetorial de
?