Mostre que W=p in P3: p(0)=2 p(1) é um subespaço vetorial de P3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que o conjunto é um subespaço vetorial de . Basicamente, estamos trabalhando com polinômios de grau no máximo 3 e queremos ver se esse conjunto tem as propriedades necessárias pra ser considerado um subespaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especialmente as condições que definem um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que p(0) = 0 e p(1) = 0 não está vazio. Na álgebra linear, todo subespaço vetorial precisa conter o vetor zero. Nesse caso, o “vetor zero” é o polinômio zero, p(0) = 2 p(1) Rightarrow 0 = 2 times 0 Rightarrow 0 = 0 .
Vamos verificar se o polinômio zero está em :
Então,
Isso confirma que o polinômio zero está em , então não está vazio.

Passo 3

Agora, precisamos mostrar que p(0) = 2 p(1) e q(0) = 2 q(1) é fechado sob adição. Ou seja, se (p + q)(0) = p(0) + q(0) = 2 p(1) + 2 q(1) = 2 (p(1) + q(1)) = 2 (p + q)(1) e (p + q)(0) = 2 (p + q)(1) são dois polinômios em , então também deve estar em .
Sabendo que , temos:
Vamos verificar e :
Então,
Isso mostra que também satisfaz a condição para estar em . Portanto, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, temos que verificar se p(0) = 2 p(1) é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se (c p)(0) = c cdot p(0) = c cdot 2 p(1) = 2 (c p)(1) está em (c p)(0) = 2 (c p)(1) e é um escalar qualquer, então também deve estar em .
Sabendo que , temos:
Agora, vamos verificar e :
Portanto,
Isso confirma que também satisfaz a condição para estar em . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o polinômio zero, e é fechado tanto sob adição quanto sob multiplicação por escalar, concluímos que é realmente um subespaço vetorial de .

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