Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Basicamente, estamos trabalhando com polinômios de grau no máximo 3 e queremos ver se esse conjunto
tem as propriedades necessárias pra ser considerado um subespaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especialmente as condições que definem um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
não está vazio. Na álgebra linear, todo subespaço vetorial precisa conter o vetor zero. Nesse caso, o “vetor zero” é o polinômio zero,
.
Vamos verificar se o polinômio zero está em
:
Então,
Isso confirma que o polinômio zero está em
, então
não está vazio.
Passo 3
Agora, precisamos mostrar que
é fechado sob adição. Ou seja, se
e
são dois polinômios em
, então
também deve estar em
.
Sabendo que
, temos:
Vamos verificar
e
:
Então,
Isso mostra que
também satisfaz a condição para estar em
. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, temos que verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se
está em
e
é um escalar qualquer, então
também deve estar em
.
Sabendo que
, temos:
Agora, vamos verificar
e
:
Portanto,
Isso confirma que
também satisfaz a condição para estar em
. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o polinômio zero, e é fechado tanto sob adição quanto sob multiplicação por escalar, concluímos que
é realmente um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Mostre que
não é um subespaço vetorial do
.
Seria
um subespaço vetorial do
? Por quê?
Por que o conjunto
não é um subespaço vetorial de
?
Seja
e
vetores. Que condição precisa acontecer para que
seja uma combinação linear de
e
? (tente lembrar qual é a definição do conceito de combinação linear…)