Seja U, V e W vetores. Que condição precisa acontecer para que W seja uma combinação linear de U e V ? (tente lembrar qual é a definição do conceito de combinação linear…)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre três vetores: U, V e W. A gente precisa descobrir qual condição deve acontecer para que o vetor W seja uma combinação linear dos vetores U e V. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente o que é uma combinação linear. Pra resolver isso, vamos precisar entender como representar um vetor como uma combinação de outros vetores usando escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Um vetor W é uma combinação linear de U e V se a gente conseguir achar números (escalar) a e b tal que:
W = aU + bV
Isso significa que a gente está “misturando” os vetores U e V com esses coeficientes a e b para chegar no vetor W.

Passo 3

Para que essa equação seja verdadeira, temos que resolver para a e b. Isso geralmente envolve resolver um sistema de equações. Por exemplo, se os vetores tiverem componentes, digamos, U = (u1, u2), V = (v1, v2) e W = (w1, w2), a equação se torna:
w1 = a u1 + b v1 w2 = a u2 + b v2

Passo 4

A condição para que exista uma solução para a e b (ou seja, para que W seja uma combinação linear de U e V) é que o sistema de equações seja compatível. Isso acontece quando o determinante da matriz formada por U e V não é zero:
u1 & v1 u2 & v2 neq 0
Se o determinante for zero, os vetores U e V são colineares e não conseguem “abranger” todo o espaço, então W pode não ser uma combinação linear deles.

Passo 5

Então, resumindo, a condição necessária para que W seja uma combinação linear de U e V é que exista uma solução para os escalares a e b na equação W = aU + bV. Isso geralmente requer que os vetores U e V não sejam colineares, ou seja, que o determinante da matriz formada por eles seja diferente de zero.

Resposta

Para que W seja uma combinação linear de U e V, deve existir escalares a e b tais que W = aU + bV, e os vetores U e V não sejam colineares (ou seja, o determinante da matriz formada por U e V seja diferente de zero).

Exercícios relacionados

Por que o conjunto W=(x, y, z) in R^3: x+y-z=1 não é um subespaço vetorial de R^3 ?
Mostre que W=p in P3: p(0)=2 p(1) é um subespaço vetorial de P3.
Dado o vetor U=2 V1-V2+2 V3, determine um vetor V colinear com U, de sentido contrário, e cujo comprimento seja o dobro de U. Faça um esboço.
Considere o ponto A=(1,2,3) e o vetor V=3 V1+4 V2+5 V3 (com ponto inicial na origem do sistema). Determine o ponto B de R^3 tal que o vetor A B=V.