Seja e vetores. Que condição precisa acontecer para que seja uma combinação linear de e ? (tente lembrar qual é a definição do conceito de combinação linear…)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre três vetores: , e . A gente precisa descobrir qual condição deve acontecer para que o vetor seja uma combinação linear dos vetores e . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente o que é uma combinação linear. Pra resolver isso, vamos precisar entender como representar um vetor como uma combinação de outros vetores usando escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Um vetor é uma combinação linear de e se a gente conseguir achar números (escalar) e tal que:
Isso significa que a gente está “misturando” os vetores e com esses coeficientes e para chegar no vetor .
Passo 3
Para que essa equação seja verdadeira, temos que resolver para e . Isso geralmente envolve resolver um sistema de equações. Por exemplo, se os vetores tiverem componentes, digamos, , e , a equação se torna:
Passo 4
A condição para que exista uma solução para e (ou seja, para que seja uma combinação linear de e ) é que o sistema de equações seja compatível. Isso acontece quando o determinante da matriz formada por e não é zero:
Se o determinante for zero, os vetores U e V são colineares e não conseguem “abranger” todo o espaço, então W pode não ser uma combinação linear deles.
Passo 5
Então, resumindo, a condição necessária para que W seja uma combinação linear de U e V é que exista uma solução para os escalares a e b na equação W = aU + bV. Isso geralmente requer que os vetores U e V não sejam colineares, ou seja, que o determinante da matriz formada por eles seja diferente de zero.
Resposta
Para que W seja uma combinação linear de U e V, deve existir escalares a e b tais que W = aU + bV, e os vetores U e V não sejam colineares (ou seja, o determinante da matriz formada por U e V seja diferente de zero).