O conjunto do item a) é totalmente ordenado? Justifique.

Passo 1

Vamos resumir a questão: Queremos saber se o conjunto das partes de , representado por , é totalmente ordenado. A matéria envolvida aqui é a teoria dos conjuntos e as noções de ordem total e ordem parcial. Para resolver isso, precisamos entender o que significa um conjunto ser totalmente ordenado e analisar se atende a esses critérios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto totalmente ordenado. Um conjunto com uma relação de ordem é totalmente ordenado se, para quaisquer dois elementos e em , ou ou é verdadeiro. Isso significa que qualquer par de elementos é comparável dentro de .

Passo 3

Agora, consideremos o conjunto das partes . A relação de ordem geralmente usada para é a inclusão de conjuntos, ou seja, . Precisamos verificar se, para quaisquer dois subconjuntos e de , ou ou é verdadeiro.

Passo 4

Nesse contexto, só será totalmente ordenado se, para qualquer par de subconjuntos e , um estiver contido no outro. Isso acontece somente se o conjunto tiver uma estrutura onde os subconjuntos são naturalmente comparáveis dessa maneira, como, por exemplo, se tiver apenas um elemento ou se todos os subconjuntos forem sequenciais em alguma ordem.

Passo 5

Na maioria dos casos, não é totalmente ordenado porque existem subconjuntos que não estão contidos um no outro. Por exemplo, se tiver pelo menos dois elementos distintos, podemos formar subconjuntos que não se incluem mutuamente.

Resposta

Não, o conjunto não é totalmente ordenado na maioria dos casos, pois existem subconjuntos de que não se incluem mutuamente.

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