O conjunto X = {1 + raiz(2), 2 + raiz(2), 3 + raiz(2), ...} é enumerável ou não enumerável? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que você me enviou pergunta se o conjunto é enumerável (ou seja, contável) ou não enumerável (não contável). O conteúdo que vamos usar aqui é de teoria dos conjuntos, especificamente sobre conjuntos contáveis e não contáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser enumerável e como podemos relacionar os elementos desse conjunto com os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer o que é um conjunto enumerável. Um conjunto é chamado de enumerável se conseguimos listar todos os seus elementos em uma sequência, ou seja, se podemos fazer uma correspondência um a um entre os elementos do conjunto e os números naturais . Se isso for possível, dizemos que o conjunto é contável.

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto . Cada elemento de pode ser representado como , onde é um número natural. Isso significa que para cada número natural , existe exatamente um elemento correspondente em .

Passo 4

Para ver se é enumerável, podemos definir uma função que faça essa correspondência direta. Vamos definir a função por . Essa função associa cada número natural a um elemento único de . Além disso, essa função é bijetora, ou seja, é uma correspondência um a um e sobre, garantindo que todos os elementos de sejam listados sem faltar nenhum.

Resposta

O conjunto é enumerável.

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