Prove que o conjunto
é enumerável.
Passo 1
Então, a gente tem um conjunto
dentro dos números reais
. A tarefa é provar que esse conjunto é enumerável, ou seja, que dá pra listar todos os seus elementos de forma que cada um tenha uma posição na lista. Vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos e funções para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser enumerável. Um conjunto é enumerável se a gente consegue fazer uma correspondência um a um com os números naturais
. Ou seja, pra cada elemento do conjunto, existe exatamente um número natural ligado a ele, e vice-versa.
Passo 3
Vamos considerar a função que liga cada número natural
ao seu logaritmo natural
. Formalmente, define-se a função
por
. Essa função está bem definida porque pra cada
em
,
é um número real.
Passo 4
Agora, precisamos mostrar que essa função
é injetora, ou seja, que se
, então
. Suponha que
. Aplicando a função exponencial dos dois lados, temos
, o que simplifica para
. Então,
é injetora.
Passo 5
Como a função
é injetora e mapeia os números naturais para o conjunto
, isso significa que cada elemento de
está ligado a um único número natural. Portanto, existe uma correspondência um a um entre
e
.
Passo 6
Conseguimos assim listar todos os elementos de
como
, cada um correspondendo a um número natural. Isso confirma que
é enumerável.
Resposta
O conjunto
é enumerável.