Prove que o conjunto X = {ln(n) : n em N} ⊂ R é enumerável.

Passo 1

Então, a gente tem um conjunto dentro dos números reais . A tarefa é provar que esse conjunto é enumerável, ou seja, que dá pra listar todos os seus elementos de forma que cada um tenha uma posição na lista. Vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos e funções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser enumerável. Um conjunto é enumerável se a gente consegue fazer uma correspondência um a um com os números naturais . Ou seja, pra cada elemento do conjunto, existe exatamente um número natural ligado a ele, e vice-versa.

Passo 3

Vamos considerar a função que liga cada número natural ao seu logaritmo natural . Formalmente, define-se a função por . Essa função está bem definida porque pra cada em , é um número real.

Passo 4

Agora, precisamos mostrar que essa função é injetora, ou seja, que se , então . Suponha que . Aplicando a função exponencial dos dois lados, temos , o que simplifica para . Então, é injetora.

Passo 5

Como a função é injetora e mapeia os números naturais para o conjunto , isso significa que cada elemento de está ligado a um único número natural. Portanto, existe uma correspondência um a um entre e .

Passo 6

Conseguimos assim listar todos os elementos de como , cada um correspondendo a um número natural. Isso confirma que é enumerável.

Resposta

O conjunto é enumerável.

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