*Seja o conjunto A = { m / 2^n : m ∈ Z, n ∈ N }. Mostre que ele é denso em R.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto . A questão quer que a gente mostre que esse conjunto é denso nos números reais .
Denso significa que, para qualquer número real que você escolher, não importa quão pequeno seja o intervalo ao redor dele, sempre vai ter um número desse conjunto dentro desse intervalo. Para provar isso, vamos precisar usar conceitos de aproximação e propriedades dos números racionais.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa um conjunto ser denso em . Tecnicamente, dizemos que é denso em se, para qualquer número real e para qualquer , existe um elemento tal que a distância entre e seja menor que . Em outras palavras, para qualquer ponto na reta real, por mais que a gente aproxime, sempre tem um número de próximo.

Passo 3

Agora, vamos ver quais elementos estão no conjunto . Cada elemento de é da forma , onde é um número inteiro e é um número natural. Esses números são conhecidos como números racionais binários ou dyádicos. Eles são especiais porque podem representar frações cujo denominador é uma potência de 2, o que facilita a aproximação de números reais.

Passo 4

Para provar que é denso em , vamos pegar qualquer número real e qualquer . Nosso objetivo é encontrar um em tal que:
Isso significa que queremos que a diferença entre e algum elemento de seja menor que .

Passo 5

Sabemos que os números racionais são densos em , ou seja, para qualquer e , existe um racional tal que:
Como é um inteiro positivo, podemos escolher suficientemente grande tal que seja maior que . Assim, podemos reescrever como , onde . Dessa forma, temos:

Passo 6

Portanto, para qualquer número real e para qualquer , encontramos um número no conjunto que está a menos de de . Isso mostra que é denso em .

Resposta

O conjunto é denso nos números reais porque, para qualquer e qualquer , existe um tal que .

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