Dados A, B em R não vazios e limitados. Seja A + B = {a + b : a pertence a A} e b in B. Prove que:
inf(A+B) = inf(A) + inf(B).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos não vazios e limitados de números reais, chamados e . Definimos a soma desses conjuntos como . O objetivo é provar que o ínfimo (ou menor limite inferior) de é igual à soma dos ínfimos de e , ou seja:
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de limites inferiores e propriedades de conjuntos somados.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa o ínfimo de um conjunto. O ínfimo de um conjunto , denotado por , é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos de . Ou seja, é o maior limite inferior de .

Passo 3

Vamos provar a igualdade dividindo em duas partes:
  1. Mostrar que .
  2. Mostrar que .
Se conseguirmos provar as duas desigualdades, teremos a igualdade desejada.

Passo 4

Primeira parte: Provar que .
Para quaisquer e , sabemos que:
Somando as duas desigualdades:
Isso significa que todo elemento de é maior ou igual a . Portanto, é um limite inferior de , o que implica:

Passo 5

Segunda parte: Provar que .
Como e são conjuntos limitados, existem sequências em e em tais que:
Considerando a sequência , temos:
Como cada pertence a , e a sequência converge para , isso significa que:

Resposta

Juntando as duas partes, concluímos que:

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