Dados
não vazios e limitados. Seja
e
. Prove que:
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos não vazios e limitados de números reais, chamados
e
. Definimos a soma desses conjuntos como
. O objetivo é provar que o ínfimo (ou menor limite inferior) de
é igual à soma dos ínfimos de
e
, ou seja:
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de limites inferiores e propriedades de conjuntos somados.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa o ínfimo de um conjunto. O ínfimo de um conjunto
, denotado por
, é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos de
. Ou seja, é o maior limite inferior de
.
Passo 3
Vamos provar a igualdade
dividindo em duas partes:
- Mostrar que
. - Mostrar que
.
Se conseguirmos provar as duas desigualdades, teremos a igualdade desejada.
Passo 4
Primeira parte: Provar que
.
Para quaisquer
e
, sabemos que:
Somando as duas desigualdades:
Isso significa que todo elemento de
é maior ou igual a
. Portanto,
é um limite inferior de
, o que implica:
Passo 5
Segunda parte: Provar que
.
Como
e
são conjuntos limitados, existem sequências
em
e
em
tais que:
Considerando a sequência
, temos:
Como cada
pertence a
, e a sequência converge para
, isso significa que:
Resposta
Juntando as duas partes, concluímos que: