Resolva o sistema
l 3 x+5 y=1 2 x+z=1 5 x+y-z=1
usando o método de Gauss-Jordan.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema nos pede. Temos um sistema de três equações com três incógnitas 3x + 5y = 1 2x + z = 1 5x + y - z = 1 , e :
Vamos resolver esse sistema usando o método de Gauss-Jordan, que é uma técnica para simplificar sistemas lineares até encontrar os valores das incógnitas.

Passo 2

O primeiro passo no método de Gauss-Jordan é escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Isso facilita a aplicação das operações de linha para simplificar o sistema.
A matriz aumentada do sistema é:
3 & 5 & 0 & | & 1 2 & 0 & 1 & | & 1 5 & 1 & -1 & | & 1

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada reduzida, onde teremos valores 1 nas diagonais principais e 0 abaixo e acima deles. Para começar, vamos tornar o primeiro elemento da primeira linha (pivot) igual a 1. Podemos dividir a primeira linha por 3:
1 & 53 & 0 & | & 13 2 & 0 & 1 & | & 1 5 & 1 & -1 & | & 1

Passo 4

Agora, queremos eliminar os 1 & 53 & 0 & | & 13 0 & -103 & 1 & | & 13 0 & -223 & -1 & | & 23 das outras duas linhas. Para isso, vamos substituir a segunda e terceira linhas:
  • Linha 2:
  • Linha 3:
Fazendo essas operações:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda linha para que o coeficiente de 1 & 53 & 0 & | & 13 0 & 1 & -310 & | & -110 0 & -223 & -1 & | & 23 seja 1. Podemos multiplicar a segunda linha por :

Passo 6

Em seguida, vamos eliminar o 1 & 53 & 0 & | & 13 0 & 1 & -310 & | & -110 0 & 0 & -2 & | & 0 da terceira linha usando a segunda linha. Para isso, vamos substituir a terceira linha por:
Fazendo essa operação:

Passo 7

Agora, podemos resolver para -2z = 0 implies z = 0 diretamente a partir da terceira linha:

Passo 8

Com y - 310(0) = -110 implies y = -110 , vamos substituir esse valor na segunda linha para encontrar :

Passo 9

Por fim, substituímos x + 53(-110) = 13 implies x - 16 = 13 implies x = 13 + 16 = 12 e na primeira linha para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é:
x = 12, y = -110, z = 0

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