O conjunto é uma base para ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é: o conjunto é uma base para ? Para responder isso, precisamos saber o que é uma base em álgebra linear. Basicamente, uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço. No nosso caso, vamos verificar se os polinômios de são linearmente independentes e se conseguem representar qualquer polinômio em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. No nosso caso, queremos ver se existe alguma combinação onde não são todos zero.

Passo 3

Vamos montar essa equação:
Distribuindo os coeficientes:
Para essa igualdade valer para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Então, temos o sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Da última equação, implica que . Substituindo na terceira equação:
Se , então . Substituindo na primeira equação:

Passo 5

Encontramos que , e são as únicas soluções do sistema. Isso significa que os polinômios de são linearmente independentes.

Passo 6

Agora, precisamos verificar se esses polinômios geram todo o espaço . Sabemos que tem dimensão 4 (baseada nos monômios ), mas nosso conjunto tem apenas 3 polinômios. Como o número de vetores na base deve ser igual à dimensão do espaço, não é possível que um conjunto com 3 elementos gere um espaço de dimensão 4.

Resposta

Então, concluímos que o conjunto n��o é uma base para , porque embora seja linearmente independente, não gera todo o espaço .

Exercícios relacionados

Estude a dependência ou independência linear dos conjuntos seguintes
Seja , e consideremos a matriz cujas colunas são os vetores de , é dizer
Mostre que o conjunto é . se e somente se o sistema linear
tem como única solução .
Nas partes (a)-(m), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
9a) A transposta de uma matriz diagonal é uma matriz diagonal.
Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base?