O conjunto A=x^3, 2 x^2-x+3, x^3-3 x^2+4 x-1 é uma base para P3 ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é: o conjunto é uma base para ? Para responder isso, precisamos saber o que é uma base em álgebra linear. Basicamente, uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço. No nosso caso, vamos verificar se os polinômios de são linearmente independentes e se conseguem representar qualquer polinômio em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. No nosso caso, queremos ver se existe alguma combinação onde não são todos zero.

Passo 3

Vamos montar essa equação:
a x^3 + b (2x^2 - x + 3) + c (x^3 - 3x^2 + 4x - 1) = 0
Distribuindo os coeficientes:
(a + c) x^3 + (2b - 3c) x^2 + (-b + 4c) x + (3b - c) = 0
Para essa igualdade valer para todo a + c = 0 2b - 3c = 0 -b + 4c = 0 3b - c = 0 , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Então, temos o sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Da última equação, -b + 4(3b) = 0 Rightarrow -b + 12b = 11b = 0 Rightarrow b = 0 implica que a + 0 = 0 Rightarrow a = 0 . Substituindo na terceira equação:
Se , então . Substituindo na primeira equação:

Passo 5

Encontramos que , e são as únicas soluções do sistema. Isso significa que os polinômios de são linearmente independentes.

Passo 6

Agora, precisamos verificar se esses polinômios geram todo o espaço . Sabemos que tem dimensão 4 (baseada nos monômios ), mas nosso conjunto tem apenas 3 polinômios. Como o número de vetores na base deve ser igual à dimensão do espaço, não é possível que um conjunto com 3 elementos gere um espaço de dimensão 4.

Resposta

Então, concluímos que o conjunto n��o é uma base para , porque embora seja linearmente independente, não gera todo o espaço .

Exercícios relacionados