Seja e=v1, ldots, vk subset R^n, e consideremos a matriz M in Mn times k(R) cujas colunas são os vetores de e, é dizer
M=[v1|v2| ldots|vk-1| vk]
Mostre que o conjunto e é l i. se e somente se o sistema linear
M x=0
tem como única solução x=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que um conjunto de vetores em é linearmente independente se e somente se o sistema linear tem apenas a solução . A matéria envolvida aqui é a independência linear e sistemas de equações lineares. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser linearmente independente e como isso se relaciona com as soluções de um sistema homogêneo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é independência linear. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhuma combinação linear diferente de zero desses vetores resulta no vetor zero. Ou seja, se a única maneira de escrever é com todos os coeficientes .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a matriz M = [v1 ,|, v2 ,|, ldots ,|, vk] que tem os vetores x1 x2 vdots xk como colunas:
M x = 0
Multiplicar essa matriz por um vetor nos dá o sistema linear:
Isso significa que estamos procurando por combinações lineares dos vetores que resultam no vetor zero.

Passo 4

Se o único vetor que satisfaz é o vetor zero ( ), isso implica que não há combinação linear não trivial dos vetores que dê zero. Ou seja, os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Por outro lado, se o conjunto é linearmente independente, então a única solução para deve ser . Se houvesse outra solução, isso significaria que existe uma combinação linear não trivial que resulta em zero, o que contraria a independência linear.

Resposta

Portanto, concluímos que o conjunto é linearmente independente se e somente se o sistema linear tem como única solução .

Exercícios relacionados