Seja , e consideremos a matriz cujas colunas são os vetores de , é dizer
Mostre que o conjunto é . se e somente se o sistema linear
tem como única solução .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que um conjunto de vetores em é linearmente independente se e somente se o sistema linear tem apenas a solução . A matéria envolvida aqui é a independência linear e sistemas de equações lineares. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser linearmente independente e como isso se relaciona com as soluções de um sistema homogêneo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é independência linear. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhuma combinação linear diferente de zero desses vetores resulta no vetor zero. Ou seja, se a única maneira de escrever é com todos os coeficientes .
Passo 3
Agora, vamos olhar para a matriz que tem os vetores como colunas:
Multiplicar essa matriz por um vetor nos dá o sistema linear:
Isso significa que estamos procurando por combinações lineares dos vetores que resultam no vetor zero.
Passo 4
Se o único vetor que satisfaz é o vetor zero (), isso implica que não há combinação linear não trivial dos vetores que dê zero. Ou seja, os vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Por outro lado, se o conjunto é linearmente independente, então a única solução para deve ser . Se houvesse outra solução, isso significaria que existe uma combinação linear não trivial que resulta em zero, o que contraria a independência linear.
Resposta
Portanto, concluímos que o conjunto é linearmente independente se e somente se o sistema linear tem como única solução .